Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge.
.
Passo 1
Vamos entender o problema. Temos uma sequência definida por
. O objetivo é determinar se essa sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos descobrir para qual valor ela converge. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre limites de sequências e propriedades do seno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
conforme
cresce. À medida que
tende ao infinito,
se aproxima de 0.
Passo 3
Sabemos que, para valores pequenos de
, o seno pode ser aproximado por
. Essa é uma aproximação útil quando
tende a 0.
Passo 4
Aplicando essa aproximação na nossa sequência, temos:
Portanto:
Passo 5
Assim, conforme
aumenta,
se aproxima de 2. Isso indica que a sequência é convergente e converge para 2.
Resposta
A sequência
é convergente e converge para 2.