Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
8. y^prime=(1-t^2-y^2)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = l(1 - t^2 - y^2r)^2
e pede para verificar se ela é exata. Para isso, vamos reescrevê-la na forma
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0
e então checar a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial t.

Passo 2

Reescrevendo
y' = dydt = l(1 - t^2 - y^2r)^2
ficamos com
-l(1 - t^2 - y^2r)^2,dt + dy = 0
Portanto
M(t,y) = -l(1 - t^2 - y^2r)^2, N(t,y) = 1

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -2l(1 - t^2 - y^2r)cdot(-2y) = 4yl(1 - t^2 - y^2r),
partial Npartial t = 0
Como
partial Mpartial y neq partial Npartial t,
a equação não é exata.

Resposta

A equação não é exata.

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