Dica: Use tau(t)=[alpha^prime, alpha^prime prime, alpha^prime prime prime]|alpha^prime times alpha^prime prime|^2.
A curva alpha: R longrightarrow R^3 dada por alpha(s)=(513 cos (s), 1813-sen(s),-1213 cos (s)) está parametrizada pelo comprimento de arco ? A curva alpha é plana ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Resumindo, temos a curva
alpha(s)=l(tfrac513cos s,;tfrac1813-sin s,;-tfrac1213cos sr)
e queremos (1) verificar se s é parâmetro de comprimento de arco, isto é, se |alpha'(s)|=1; (2) checar se a curva é plana, o que ocorre exatamente quando a torsão tau(s)=0. Para isso vamos calcular alpha'(s), alpha''(s), alpha'''(s) e usar a fórmula
tau(s)=[alpha'(s),alpha''(s),alpha'''(s)]|alpha'(s)timesalpha''(s)|^2

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada
alpha'(s)=l(-tfrac513sin s,;-cos s,;tfrac1213sin sr)
Em seguida, sua norma ao quadrado é
|alpha'(s)|^2 =l(-tfrac513sin sr)^2+(-cos s)^2+l(tfrac1213sin sr)^2 =25+144169sin^2s+cos^2s =sin^2s+cos^2s=1
Como |alpha'(s)|^2=1 para todo s, segue |alpha'(s)|=1. Logo s é parâmetro de comprimento de arco.

Passo 3

Agora vamos ao teste de planicidade. Calculamos
alpha''(s)=l(-tfrac513cos s,;sin s,;tfrac1213cos sr), alpha'''(s)=l(tfrac513sin s,;cos s,;-tfrac1213sin sr)
Formemos o produto misto
[alpha',alpha'',alpha'''] =alpha'(s)cdotl(alpha''(s)timesalpha'''(s)r)
Cálculo rápido mostra que
alpha''(s)timesalpha'''(s) =l(-tfrac1213,0,-tfrac513r),
e em seguida
alpha'(s)cdotl(alpha''timesalpha'''r) =l(-tfrac513sin sr)!l(-tfrac1213r) +l(tfrac1213sin sr)!l(-tfrac513r) =0
Portanto o numerador da fórmula da torsão é zero, o que implica tau(s)=0.

Passo 4

Tendo tau(s)=0 em todo o domínio, concluímos que a curva é plana, pois torsão nula caracteriza curvas contidas num mesmo plano.

Resposta

A curva está parametrizada pelo comprimento de arco: sim.
A curva é plana: sim.

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