Dica: Use
.
A curva
dada por
está parametrizada pelo comprimento de arco ? A curva
é plana ? Justifique sua resposta.
A curva
Passo 1
Resumindo, temos a curva
e queremos (1) verificar se
é parâmetro de comprimento de arco, isto é, se
; (2) checar se a curva é plana, o que ocorre exatamente quando a torsão
. Para isso vamos calcular
,
,
e usar a fórmula
Passo 2
Calculemos primeiro a derivada
Em seguida, sua norma ao quadrado é
Como
para todo
, segue
. Logo
é parâmetro de comprimento de arco.
Passo 3
Agora vamos ao teste de planicidade. Calculamos
Formemos o produto misto
Cálculo rápido mostra que
e em seguida
Portanto o numerador da fórmula da torsão é zero, o que implica
.
Passo 4
Tendo
em todo o domínio, concluímos que a curva é plana, pois torsão nula caracteriza curvas contidas num mesmo plano.
Resposta
A curva está parametrizada pelo comprimento de arco: sim.
A curva é plana: sim.
A curva é plana: sim.