Dica: Use tau(t)=[alpha^prime, alpha^prime prime, alpha^prime prime prime]|alpha^prime times alpha^prime prime|^2.
A curva parametrizada alpha dada por alpha(t)=(t^3, t^3, t^3) é uma reta?

Passo 1

A curva é
alpha(t) = (t^3,,t^3,,t^3), tinR,
e queremos saber se ela é uma reta. Em geometria de curvas, uma forma direta de verificar isso é calcular a curvatura kappa(t). Se kappa(t)equiv0, a curva é retilínea.

Passo 2

Calculamos as derivadas primeiras e segundas de alpha:
alpha'(t) = (3t^2,,3t^2,,3t^2),
alpha''(t) = (6t,,6t,,6t)

Passo 3

A definição de curvatura é
kappa(t) ;=;|alpha'(t)timesalpha''(t)||alpha'(t)|^3
Como alpha'(t) e alpha''(t) são múltiplos um do outro (ambos na direção (1,1,1)), o produto vetorial é zero:
alpha'(t)timesalpha''(t) = (0,0,0) Longrightarrow |alpha'(t)timesalpha''(t)| = 0
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kappa(t) = 0para todo t

Passo 4

Curvatura identicamente zero implica que a curva é uma reta. Alternativamente, basta notar a reparametrização u = t^3, pois
alpha(t) = (u,u,u) = u,(1,1,1),
que é exatamente a reta que passa pela origem na direção (1,1,1).

Resposta

Sim. A curva alpha(t)=(t^3,t^3,t^3) é uma reta.

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