Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
(10.) y^prime=(t^2+y^2)^3 / 2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = (t^2 + y^2)^3/2
Para testar exatidão, reescrevemos na forma
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0,
ou seja,
-,l(t^2 + y^2r)^3/2,dt + 1cdot dy = 0

Passo 2

Identificamos
M(t,y) = -l(t^2 + y^2r)^3/2, N(t,y) = 1
A condição de exatidão é
partial Mpartial y ;=;partial Npartial t

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -32cdot 2y,(t^2 + y^2)^1/2 = -3y,(t^2 + y^2)^1/2,
partial Npartial t = 0

Passo 4

Como
partial Mpartial y = -3y,(t^2 + y^2)^1/2 neq 0 = partial Npartial t
em geral, concluímos que a equação não é exata.

Resposta

A equação não é exata.

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