Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
(11) d yd t=1+t^23 y-y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
dydt = 1 + t^23y - y^2
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução. Estamos aplicando o método de equações diferenciais exatas: reescrever na forma
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0,
testar partial M/partial y = partial N/partial t e, se exata, buscar uma função potencial Psi(t,y) constante.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por dt e reorganizando, obtemos
(3y - y^2),dy - (1 + t^2),dt = 0
Logo
M(t,y) = -(1 + t^2), N(t,y) = 3y - y^2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial yl[-(1+t^2)r] = 0, partial Npartial t = partialpartial tl[3y - y^2r] = 0
Como partial M/partial y = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 4

Por exatidão existe uma função Psi(t,y) tal que
partial Psipartial t = M = -(1 + t^2)
Integramos em t e somamos uma função arbitrária de y:
Psi(t,y) = -integral(1 + t^2),dt + h(y) = -t - t^33 + h(y)

Passo 5

Impondo
partial Psipartial y = h'(y) = N = 3y - y^2,
integramos em y:
h(y) = integral(3y - y^2),dy = 3y^22 - y^33 + C

Passo 6

Substituindo h(y) em Psi(t,y) e reunindo constantes, a solução implícita geral fica
Psi(t,y) = -t - t^33 + 3y^22 - y^33 = C

Resposta

-t - t^33 + 3y^22 - y^33 = C

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