Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
(11)
(11)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução. Estamos aplicando o método de equações diferenciais exatas: reescrever na forma
testar
e, se exata, buscar uma função potencial
constante.
Passo 2
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando, obtemos
Logo
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Por exatidão existe uma função
tal que
Integramos em
e somamos uma função arbitrária de
:
Passo 5
Impondo
integramos em
:
Passo 6
Substituindo
em
e reunindo constantes, a solução implícita geral fica