• Questão 16. Determine a derivada de ordem n.
    (b) g(x)=sen x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função g(x)=sen x. Vamos usar o fato de que as derivadas de funções trigonométricas formam um ciclo de período 4.

Passo 2

Calculando as primeiras derivadas de g(x), temos
g'(x)=cos x,
g''(x)=-sin x,
g^(3)(x)=-cos x,
g^(4)(x)=sin x
Percebe-se que após quatro derivadas voltamos a sin x, ou seja, o padrão se repete de 4 em 4.

Passo 3

Defina r = n bmod 4. Então cada caso fica
g^(n)(x)= sen x, & r=0, cos x, & r=1, -sen x, & r=2, -cos x, & r=3

Passo 4

Uma forma mais elegante e compacta de escrever isso é usar o deslocamento de fase:
g^(n)(x)=senl(x+tfracnpi2r)

Resposta

g^(n)(x)=sen!l(x+npi2r)

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