Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
(y / x+6 x) d x+(\ln x-2) d y=0, \quad x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\Bigl(\frac{y}{x}+6x\Bigr)\,dx + (\ln x - 2)\,dy = 0, \quad x>0.
Queremos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução implícita geral. O conteúdo envolvido é equações diferenciais exatas: vamos usar a condição de exatidão e buscar uma função potencial.

Passo 2

Defina
M(x,y) = \frac{y}{x} + 6x, \qquad N(x,y) = \ln x - 2.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x em x>0, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int \Bigl(\frac{y}{x} + 6x\Bigr)\,dx = y\ln x + 3x^2 + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \ln x + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=\ln x - 2. Daí
h'(y) = -2 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -2y.
Logo a função potencial completa é
\psi(x,y) = y\ln x + 3x^2 - 2y.

Resposta

A solução implícita geral da equação exata é
y\ln x \;-\;2y\;+\;3x^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

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