Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
(y / x+6 x) d x+(\ln x-2) d y=0, \quad x>0
(y / x+6 x) d x+(\ln x-2) d y=0, \quad x>0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Queremos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução implícita geral. O conteúdo envolvido é equações diferenciais exatas: vamos usar a condição de exatidão e buscar uma função potencial.
Passo 2
Defina
Calcule as derivadas parciais:
Como
em
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função arbitrária de
.
Passo 4
Para achar
, usamos
e igualamos a
. Daí
Logo a função potencial completa é
Resposta
A solução implícita geral da equação exata é
onde
é constante arbitrária.