Exercício 6 (Análise Teórica - 1,5 pontos)
Explique as vantagens e desvantagens dos métodos iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel) em comparação com métodos diretos para resolução de sistemas lineares.
Explique as vantagens e desvantagens dos métodos iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel) em comparação com métodos diretos para resolução de sistemas lineares.
Passo 1
O enunciado pede para compararmos as vantagens e desvantagens dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss–Seidel com os métodos diretos (por exemplo, eliminação de Gauss ou fatoração LU) na resolução de um sistema linear
. O conteúdo envolve análise de complexidade, uso de memória, desempenho em sistemas esparsos e questões de convergência.
Passo 2
As principais vantagens dos métodos iterativos são:
- Cada iteração exige apenas operações de multiplicação e soma envolvendo os coeficientes não nulos de
. Se é o número de elementos não nulos, o custo de cada iteração é , que pode ser muito menor que . - Ocupam pouca memória extra, apenas precisam armazenar o próprio vetor solução e, se bem implementados, mantêm
na forma esparsa. - Podem ser paralelizados de forma simples (especialmente Jacobi, pois cada componente de
é calculado independentemente). - São adequados quando se necessita apenas de uma solução aproximada com certa tolerância, pois podemos interromper após algumas iterações.
Passo 3
As principais desvantagens dos métodos iterativos são:
- A convergência não é garantida para todo
. Geralmente exige que seja estritamente diagonalmente dominante ou simétrico definido positivo (no caso de Gauss–Seidel). - Podem convergir muito lentamente se o raio espectral do operador de iteração for próximo de 1, exigindo centenas ou milhares de iterações.
- É necessário escolher critério de parada e tolerância, o que pode levar a erro de aproximação.
- Em certas aplicações, pode ser necessário aplicar pré-condicionamento, acrescentando complexidade ao método.
Passo 4
Em contraste, métodos diretos possuem estas características:
- Resolvem o sistema em número finito de operações (teoricamente exato, sujeito a erros de arredondamento) com custo típico
e memória . - São robustos: convergem para a solução exata (na aritmética real) sem depender de condição de diagonal dominante.
- Sofrem fill-in quando aplicados a matrizes esparsas, o que pode transformar
em uma matriz densa temporária, aumentando drasticamente o custo de memória e de processamento. - São menos fáceis de paralelizar do que Jacobi ou Gauss–Seidel, embora existam implementações eficientes em grandes arquiteturas.
Passo 5
Em resumo, escolhe-se:
- Iterativos quando
é muito grande e esparso, quando só se quer uma solução aproximada ou quando há infraestrutura de paralelismo leve. - Diretos quando
é moderado, é denso ou bem condicionada, ou quando se requer a solução exata (dentro dos erros numéricos), sem preocupação de muitas iterações.
Resposta
Métodos iterativos (Jacobi e Gauss–Seidel) são mais leves em memória e custo por iteração
, paralelizáveis e ideais para grandes sistemas esparsos quando basta aproximação, mas têm convergência condicional e podem ser lentos. Métodos diretos garantem solução exata em
, são robustos e não exigem critério de parada, porém consomem mais memória
, sofrem fill-in e escalam mal para problemas muito grandes.