Exercício 1 (Método de Jacobi - 1,5 pontos)

Considere o sistema linear:
\begin{aligned} 4 x_{1}-x_{2}+x_{3} & =7 \\\ x_{1}+5 x_{2}-2 x_{3} & =-5 \\\\ -x_{1}+x_{2}+3 x_{3} & =4 \end{aligned}
a) Verifique se o sistema satisfaz o critério de convergência diagonal dominante para o método de Jacobi.
b) Reescreva o sistema na forma iterativa de Jacobi.
c) Partindo da aproximação inicial x^{(0)}=(0,0,0)^{T}, realize 3 iterações completas do método de Jacobi.
d) Calcule o erro absoluto na terceira iteração usando a norma infinito.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 4x_{1}-x_{2}+x_{3}=7,\\\ x_{1}+5x_{2}-2x_{3}=-5,\\\\ -\,x_{1}+x_{2}+3x_{3}=4, \end{cases}
e pede: (a) verificar o critério de convergência de dominância diagonal para Jacobi; (b) reescrever na forma iterativa de Jacobi; (c) a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^T, realizar 3 iterações; (d) calcular o erro absoluto na terceira iteração usando a norma infinito. Vamos usar definição de dominância diagonal, fórmula geral de Jacobi e norma infinito para erro.

Passo 2

Para dominância diagonal precisamos que, em cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Linha 1: |4|>|{-1}|+|1|=2;✓
Linha 2: |5|>|1|+|{-2}|=3;✓
Linha 3: |3|>|{-1}|+|1|=2;✓
Logo, o sistema é estritamente diagonal dominante e garante convergência de Jacobi.

Passo 3

A forma iterativa de Jacobi é
x_{i}^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_{i}-\sum_{j\neq i}a_{ij}\,x_{j}^{(k)}\Bigr).
Aplicando ao sistema temos
x_{1}^{(k+1)}=\frac{7+x_{2}^{(k)}-x_{3}^{(k)}}{4},\quad x_{2}^{(k+1)}=\frac{-5 -x_{1}^{(k)}+2x_{3}^{(k)}}{5},\quad x_{3}^{(k+1)}=\frac{4 +x_{1}^{(k)}-x_{2}^{(k)}}{3}.

Passo 4

Começando em x^{(0)}=(0,0,0)^T:
k =0\to 1:
x^{(1)}=\Bigl(\tfrac{7}{4},\,-1,\,\tfrac{4}{3}\Bigr)^T.
k =1\to 2:
x_{1}^{(2)}=\frac{7+(-1)-\tfrac{4}{3}}{4}=\tfrac{7}{6},\quad x_{2}^{(2)}=\frac{-5-\tfrac{7}{4}+2\cdot\tfrac{4}{3}}{5}=-\tfrac{49}{60},\quad x_{3}^{(2)}=\frac{4+\tfrac{7}{4}-(-1)}{3}=\tfrac{9}{4},
logo x^{(2)}=\bigl(\tfrac{7}{6},\,-\tfrac{49}{60},\,\tfrac{9}{4}\bigr)^T.
k =2\to 3:
x_{1}^{(3)}=\frac{7+(-\tfrac{49}{60})-\tfrac{9}{4}}{4}=\tfrac{59}{60},\quad x_{2}^{(3)}=\frac{-5-\tfrac{7}{6}+2\cdot\tfrac{9}{4}}{5}=-\tfrac{1}{3},\quad x_{3}^{(3)}=\frac{4+\tfrac{7}{6}-\bigl(-\tfrac{49}{60}\bigr)}{3}=\tfrac{359}{180},
então x^{(3)}=\bigl(\tfrac{59}{60},\,-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{359}{180}\bigr)^T.

Passo 5

O erro absoluto na iteração 3 pela norma infinito é
\|e^{(3)}\|_{\infty} =\max_{i}|x_{i}^{(3)}-x_{i}^{(2)}| =\max\Bigl\{\bigl|\tfrac{59}{60}-\tfrac{7}{6}\bigr|,\bigl|-\tfrac{1}{3}+\tfrac{49}{60}\bigr|,\bigl|\tfrac{359}{180}-\tfrac{9}{4}\bigr|\Bigr\} =\frac{29}{60}\approx0,48333.

Resposta

(a) Sim, o sistema é estritamente diagonal dominante.
(b) \displaystyle x_{1}^{(k+1)}=\frac{7+x_{2}^{(k)}-x_{3}^{(k)}}{4}, \displaystyle x_{2}^{(k+1)}=\frac{-5 -x_{1}^{(k)}+2x_{3}^{(k)}}{5}, \displaystyle x_{3}^{(k+1)}=\frac{4 +x_{1}^{(k)}-x_{2}^{(k)}}{3}.
(c) x^{(1)}=(\tfrac{7}{4},-1,\tfrac{4}{3})^T, x^{(2)}=(\tfrac{7}{6},-\tfrac{49}{60},\tfrac{9}{4})^T, x^{(3)}=(\tfrac{59}{60},-\tfrac{1}{3},\tfrac{359}{180})^T.
(d) \|e^{(3)}\|_{\infty}=\tfrac{29}{60}\approx0,48333.

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