Determine se cada uma das equações nos Problemas 1 a 8 é exata. Se for, encontre a solução.
(\frac{d y}{d x}=-\frac{a x-b y}{b x-c y})
(\frac{d y}{d x}=-\frac{a x-b y}{b x-c y})
Passo 1
Vamos analisar a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Nosso objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar sua solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
Comparando com a nossa equação:
Portanto, identificamos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
Como
(a menos que
, o que não consideramos aqui), a igualdade não é satisfeita.
Resposta
A equação diferencial dada não é exata.