Determine se cada uma das equações nos Problemas 1 a 8 é exata. Se for, encontre a solução.
(\frac{d y}{d x}=-\frac{a x-b y}{b x-c y})

Passo 1

Vamos analisar a equação diferencial dada:
dydx = -a x - b yb x - c y
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Nosso objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar sua solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
Comparando com a nossa equação:
dydx = -a x - b yb x - c y implies (a x - b y),dx + (b x - c y),dy = 0
Portanto, identificamos:
M(x,y) = a x - b y e N(x,y) = b x - c y

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x :
partial Mpartial y = -b
partial Npartial x = b

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
partial Mpartial y = -b e partial Npartial x = b
Como -b neq b (a menos que b = 0 , o que não consideramos aqui), a igualdade não é satisfeita.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata.

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