Discuta e resolva, quando possível, os sistemas:

Passo 1

O enunciado apresenta dois sistemas lineares 3times3. O conteúdo é Álgebra Linear, especificamente a discussão de existência e unicidade de solução via determinante e a resolução pelo método da eliminação de Gauss. Precisamos do conceito de determinante para decidir se o sistema é compatível determinado (solução única) e, caso seja singular, usar eliminação para verificar se é impossível ou indeterminado.

Passo 2

Para o primeiro sistema, a matriz de coeficientes é
A1 = 5 & -2 & -3 4 & 1 & -2 1 & -3 & -1
Calculamos
det(A1) =51 & -2-3 & -1 -(-2)4 & -21 & -1 +(-3)4 & 11 & -3 =-35-4+39=0
Como det(A1)=0, o sistema pode ser impossível ou ter infinitas soluções.

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss no primeiro sistema
5x-2y-3z=1, 4x+y-2z=9, x-3y-z=7,
isolamos x da terceira equação: x=7+3y+z. Substituindo nas duas primeiras, obtemos
13y+2z=-19 e 13y+2z=-34,
o que é contraditório. Portanto o primeiro sistema é impossível (não tem solução).

Passo 4

No segundo sistema, a matriz de coeficientes é
A2 = 3 & 1 & -1 1 & 2 & 1 2 & -1 & 1
Calculamos
det(A2) =32 & 1-1 & 1 -11 & 12 & 1 +(-1)1 & 22 & -1 =9+1+5=15neq0
Como det(A2)neq0, o sistema é compatível determinado (tem única solução).

Passo 5

Resolvendo por eliminação o sistema
3x+y-z=2, x+2y+z=8, 2x-y+z=3,
somamos a (1) com a (3):
5x=5implies x=1
Somamos a (1) com a (2):
4x+3y=10implies 4cdot1+3y=10implies y=2
Por fim, na segunda equação
1+2cdot2+z=8implies z=3

Resposta

O primeiro sistema é impossível (não tem solução).
O segundo sistema é compatível determinado, com solução
(x,y,z)=(1,2,3)

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