Determine se cada uma das equações nos Problemas 1 a 8 é exata. Se for, encontre a solução.
(\frac{d y}{d x}=-\frac{a x+b y}{b x+c y})

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de primeira ordem
dydx = -a x + b yb x + c y
e pede para determinar se ela é exata. O conteúdo usado será teoria de equações diferenciais exatas, isto é, escrever a equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e verificar se partial M/partial y = partial N/partial x. Se for exata, encontraremos uma função potencial Phi(x,y) tal que Phi(x,y)=constante seja a solução implícita.

Passo 2

Reescrevemos a equação em forma diferencial: multiplicando ambos os lados por (b x + c y),dx, obtemos
(b x + c y),dy = -(a x + b y),dx
ou equivalentemente
(a x + b y),dx + (b x + c y),dy = 0
Assim identificamos
M(x,y) = a x + b y, N(x,y) = b x + c y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = b, partial Npartial x = b
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial Phi(x,y) satisfazendo
partial Phipartial x = M(x,y) = a x + b y
Integramos em x:
Phi(x,y) = integral (a x + b y),dx = a x^22 + b x y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Agora impomos
partial Phipartial y = b x + h'(y) = N(x,y) = b x + c y
Da igualdade vem
h'(y) = c y Longrightarrow h(y) = c y^22 + const

Passo 6

Substituindo em Phi, obtemos
Phi(x,y) = a x^22 + b x y + c y^22
A solução geral implícita da equação exata é
Phi(x,y) = K,
onde K é constante arbitrária. Multiplicando por 2, fica mais simples:
a x^2 + 2b x y + c y^2 = C,
com C=2K.

Resposta

A equação é exata e sua solução implícita geral é
a x^2 + 2b x y + c y^2 = C,
onde C é constante.

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