Determine se cada uma das equações nos Problemas 1 a 8 é exata. Se for, encontre a solução.
(\frac{d y}{d x}=-\frac{a x+b y}{b x+c y})
(\frac{d y}{d x}=-\frac{a x+b y}{b x+c y})
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de primeira ordem
e pede para determinar se ela é exata. O conteúdo usado será teoria de equações diferenciais exatas, isto é, escrever a equação na forma
e verificar se
. Se for exata, encontraremos uma função potencial
tal que
seja a solução implícita.
Passo 2
Reescrevemos a equação em forma diferencial: multiplicando ambos os lados por
, obtemos
ou equivalentemente
Assim identificamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
satisfazendo
Integramos em
:
onde
é função a determinar.
Passo 5
Agora impomos
Da igualdade vem
Passo 6
Substituindo em
, obtemos
A solução geral implícita da equação exata é
onde
é constante arbitrária. Multiplicando por 2, fica mais simples:
com
.
Resposta
A equação é exata e sua solução implícita geral é
onde
é constante.