Determine se cada uma das equações são ou não exatas. Para as exatas, encontre a solução. \left(e^{x} \operatorname{sen} y-3 y\right) d x-\left(3 x-e^{x} \operatorname{sen} y\right) d y=0
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial na forma
\bigl(e^{x}\sin y - 3y\bigr)\,dx \;-\;\bigl(3x - e^{x}\sin y\bigr)\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata. Se for exata, encontrar sua solução.
Passo 2
Identificamos as funções
M(x,y) = e^{x}\sin y \;-\; 3y, \qquad N(x,y) = -\bigl(3x - e^{x}\sin y\bigr) = e^{x}\sin y \;-\;3x.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x}\cos y \;-\;3, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}\sin y \;-\;3.
Passo 4
Como \partial M/\partial y = e^{x}\cos y -3 difere de \partial N/\partial x = e^{x}\sin y -3 em geral, a equação não é exata.