Resolva as equações diferenciais
\left(y \cos x+2 x e^{y}\right)+\left(\operatorname{sen} x+x^{2} e^{y}-1\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(y\cos x + 2x e^{y}\bigr) \;+\;\bigl(\sin x + x^{2}e^{y}-1\bigr)\,y' \;=\;0
Essa equação pode ser vista como
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 \quad\text{com}\quad M(x,y)=y\cos x+2x e^y, \; N(x,y)=\sin x+x^2e^y-1.
O método que vamos usar é o de equação exata: verificar se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=M\,dx+N\,dy.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\cos x +2x e^y\bigr) =\cos x +2x e^y,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin x +x^2e^y-1\bigr) =\cos x +2x e^y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)=y\cos x+2x e^y.
Integramos em relação a x:
F(x,y) =\int\bigl(y\cos x+2x e^y\bigr)\,dx =y\sin x + x^2 e^y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial F}{\partial y} =\sin x + x^2e^y + h'(y) \overset{!}{=}N(x,y)=\sin x + x^2e^y -1.
Daí
h'(y)=-1 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=-y +\text{constante}.

Passo 5

Portanto, uma função potencial é
F(x,y)=y\sin x + x^2 e^y - y.
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
F(x,y)=C,
ou seja

Resposta

y\sin x + x^2 e^y - y = C,
com C constante arbitrária.

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