Verificar se a equação é exata, caso afirmativo, encontrar a solução.
\left(x^{2}-y\right) d x-\left(y^{2}-x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
\bigl(x^{2}-y\bigr)\,dx \;-\;\bigl(y^{2}-x\bigr)\,dy \;=\;0
e pede para verificar se ela é exata.
Conteúdo: equações diferenciais exatas, que têm a forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
e são exatas se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Reescrevendo em M\,dx+N\,dy=0:
M(x,y) = x^{2}-y, \quad N(x,y) = x - y^{2}
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y) = -1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x - y^{2}) = 1.

Passo 3

Como
\frac{\partial M}{\partial y} = -1 \quad\neq\quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1,
a equação não é exata.
Além disso, as formas usuais de fator integrante (função só de x, só de y ou do tipo x^{m}y^{n}) também não eliminam essa discrepância, então não se obtém uma equação exata sem recorrer a um fator integrante mais elaborado.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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