Encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e, então, resolva-a usando esse valor de b .
\left(x y^{2}+b x^{2} y\right) d x+(x+y) x^{2} d y=0
\begin{aligned} & M(x, y)=x y^{2}+b x^{2} y \\\ & M y=2 x y+b x^{2} \\\ & \text { Para ser exata, } M_{y}=N_{x} \\\ & \qquad 2 x y+b x^{2}=3 x^{2}+2 x y \end{aligned}
Logo, por igualdade de polinômio, \mathrm{b}=3.
\begin{array}{ll} & \left(x y^{2}+3 x^{2} y\right) d x+(x+y) x^{2} d y=0 \\\ M(x, y)=x y^{2}+3 x^{2} y & N(x, y)=x^{3}+y x^{2} \\\ M y=2 x y+3 x^{2} & N_{x}=3 x^{2}+2 x y \end{array}
Para ser exata, \mathrm{M}_{\mathrm{y}}=\mathrm{N}_{\mathrm{x}}
Sabendo que \frac{\partial F}{\partial y}=N(x, y), teremos:
\begin{gathered} \frac{\partial F}{\partial y}=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{yx}^{2} \\\ \int \frac{\partial F}{\partial y}=\int\left(\mathrm{x}^{3}+\mathrm{yx}^{2}\right) d y+\mathrm{g}(\mathrm{x}) \\\ F(x, y)=\mathrm{x}^{3} y+\frac{y^{2}}{2} \mathrm{x}^{2}+g(x) \end{gathered}
Por sua vez, sabendo que \frac{\partial F}{\partial x}=M(x, y),
\begin{gathered} \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\mathrm{x}^{3} y+\frac{y^{2}}{2} \mathrm{x}^{2}\right)+g^{\prime}(x) \\\ \frac{\partial F}{\partial x}=3 \mathrm{x}^{2} y+\mathrm{xy}^{2}+g^{\prime}(x) \\\ M(x, y)=3 \mathrm{x}^{2} y+\mathrm{xy}^{2}+g^{\prime}(x) \end{gathered}
\begin{gathered} x y^{2}+3 x^{2} y=3 \mathrm{x}^{2} y+\mathrm{xy}^{2}+g^{\prime}(x) \\\ g^{\prime}(x)=0 \\\ g(x)=k \end{gathered}
Finalmente:
F(x, y)=x^{3} y+\frac{y^{2}}{2} x^{2}+k
Cuja soluçào geral ė
\mathrm{x}^{3} y+\frac{\mathrm{y}^{2}}{2} \mathrm{x}^{2}=C, \text { onde } C=-k

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x\,y^{2}+b\,x^{2}y\bigr)\,dx+(x+y)\,x^{2}\,dy=0
ou seja, M(x,y)=x\,y^{2}+b\,x^{2}y e N(x,y)=x^{3}+x^{2}y. Para ser exata, devemos ter
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =2\,x\,y + b\,x^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =3\,x^{2}+2\,x\,y.
Igualando-as para exatidão:
2\,x\,y + b\,x^{2}=3\,x^{2}+2\,x\,y \quad\Longrightarrow\quad b=3.

Passo 3

Substituindo b=3, a equação exata fica
\bigl(x\,y^{2}+3\,x^{2}y\bigr)\,dx+(x^{3}+x^{2}y)\,dy=0.
Agora procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
F_x=M(x,y), \qquad F_y=N(x,y).

Passo 4

Integramos M em relação a x:
F(x,y) =\int\bigl(x\,y^{2}+3\,x^{2}y\bigr)\,dx =y^{2}\,\frac{x^{2}}{2}+x^{3}y+g(y).

Passo 5

Derivando em relação a y e igualando a N:
F_{y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{x^{2}y^{2}}{2}+x^{3}y\Bigr)+g'(y) =x^{2}y+x^{3}+g'(y) \stackrel!=x^{3}+x^{2}y
daí g'(y)=0 e g(y)=\text{constante}.

Passo 6

A função potencial é
F(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x^{3}y + k
e a solução geral implícita da equação diferencial é
\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x^{3}y=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

b =3
\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x^{3}y=C.

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