Verificar se a equação é exata, caso afirmativo, encontrar a solução.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral.
O conteúdo aqui é “equações diferenciais exatas”: dado
O conteúdo aqui é “equações diferenciais exatas”: dado
ela é exata se
e nesse caso existe uma função potencial
tal que
e a solução implícita é
.
Passo 2
Identificamos
Agora calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe
com
Integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos
e igualamos a
:
Integramos em relação a
:
Podemos absorver essa constante final em
.
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a função potencial
A solução geral implícita da equação diferencial é
Resposta
onde
é constante de integração.