Verificar se a equação é exata, caso afirmativo, encontrar a solução.
(2 x+y) d x+(x-4 y)=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
(2x + y)\,dx + (x - 4y)\,dy = 0
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral.
O conteúdo aqui é “equações diferenciais exatas”: dado
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
ela é exata se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},
e nesse caso existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\psi_x = M,\quad \psi_y = N,
e a solução implícita é \psi(x,y)=C.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x + y, \qquad N(x,y) = x - 4y.
Agora calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x + y) = 1,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x - 4y) = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe \psi(x,y) com
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y) = 2x + y.
Integramos em relação a x:
\psi(x,y) = \int(2x + y)\,dx = x^2 + xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + xy + h(y)) = x + h'(y)
e igualamos a N(x,y):
x + h'(y) = x - 4y \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -4y.
Integramos em relação a y:
h(y) = \int(-4y)\,dy = -2y^2 + \text{constante}.
Podemos absorver essa constante final em C.

Passo 5

Substituindo h(y) = -2y^2 em \psi(x,y), obtemos a função potencial
\psi(x,y) = x^2 + xy - 2y^2.
A solução geral implícita da equação diferencial é
\psi(x,y) = C.

Resposta

x^2 + xy - 2y^2 = C,
onde C é constante de integração.

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