Determine para cada função o maior subconjunto de
onde as funções são definidas, represente se possível este conjunto graficamente:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é o maior conjunto de números reais em 3 dimensões (ℝ³) onde a função
está definida. Basicamente, queremos saber para quais valores de
,
e
essa função dá um resultado válido. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre domínio de funções multivariadas e condições para expressões dentro de raízes quadradas serem não negativas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da função que envolve a raiz quadrada:
. Para a raiz quadrada estar definida nos números reais, o que está dentro dela, ou seja, o radicando, precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:
Passo 3
Vamos rearranjar essa desigualdade para facilitar. Somando
dos dois lados, temos:
Ou, de forma equivalente:
Passo 4
Essa desigualdade descreve todos os pontos
no espaço tridimensional que estão dentro ou sobre a superfície de uma esfera de raio 6 (já que
), centrada na origem. Ou seja, o conjunto de definição
da função
é:
Passo 5
Além disso, não há outras restrições na função
além da condição imposta pela raiz quadrada. Ou seja, desde que
, a função estará definida para todos os valores de
,
e
que satisfazem essa condição.
Passo 6
Para representar graficamente esse conjunto, imaginamos uma esfera de raio 6 centrada na origem no espaço 3D. Todos os pontos dentro dessa esfera (incluindo a superfície) são onde a função
está definida.
Resposta
O maior subconjunto de
onde a função
está definida é:
Esse conjunto corresponde a todos os pontos dentro ou sobre uma esfera de raio 6 centrada na origem no espaço tridimensional.