Determine para cada função o maior subconjunto de R^3 onde as funções são definidas, represente se possível este conjunto graficamente:
(b) f(x, y, z) = x^2 - y * z + 4 * raiz(36 - x^2 - y^2 - z^2)
R: D = {(x, y, z) | x^2 + y^2 + z^2 <= 36}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é o maior conjunto de números reais em 3 dimensões (ℝ³) onde a função está definida. Basicamente, queremos saber para quais valores de , e essa função dá um resultado válido. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre domínio de funções multivariadas e condições para expressões dentro de raízes quadradas serem não negativas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função que envolve a raiz quadrada: . Para a raiz quadrada estar definida nos números reais, o que está dentro dela, ou seja, o radicando, precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:

Passo 3

Vamos rearranjar essa desigualdade para facilitar. Somando dos dois lados, temos:
Ou, de forma equivalente:

Passo 4

Essa desigualdade descreve todos os pontos no espaço tridimensional que estão dentro ou sobre a superfície de uma esfera de raio 6 (já que ), centrada na origem. Ou seja, o conjunto de definição da função é:

Passo 5

Além disso, não há outras restrições na função além da condição imposta pela raiz quadrada. Ou seja, desde que , a função estará definida para todos os valores de , e que satisfazem essa condição.

Passo 6

Para representar graficamente esse conjunto, imaginamos uma esfera de raio 6 centrada na origem no espaço 3D. Todos os pontos dentro dessa esfera (incluindo a superfície) são onde a função está definida.

Resposta

O maior subconjunto de onde a função está definida é:
Esse conjunto corresponde a todos os pontos dentro ou sobre uma esfera de raio 6 centrada na origem no espaço tridimensional.

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