Resolva, usando a Regra de Cramer, o seguinte sistema:
x + 2y - z = -5, -x - 2y - 3z = -3, 4x - y - z = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. A matéria que estamos trabalhando aqui é Sistemas Lineares e Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar calcular determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:

Passo 3

A Regra de Cramer funciona assim: para cada variável (x, y, z), a gente substitui a coluna dos coeficientes dessa variável pelos termos constantes e calcula o determinante. Depois, divide o determinante substituído pelo determinante da matriz original.
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante (Δ):

Passo 4

Vamos calcular Δ usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vou usar a expansão pela primeira linha:
Calculando os determinantes menores:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos calcular Δₓ substituindo a coluna de x pelos termos constantes (-5, -3, 4):
Calculando:
Determinantes menores:
Substituindo:

Passo 6

Agora, Δᵧ substituindo a coluna de y pelos termos constantes:
Calculando:
Determinantes menores:
Substituindo:

Passo 7

Por fim, Δ_z substituindo a coluna de z pelos termos constantes:
Calculando:
Determinantes menores:
Substituindo:

Resposta

Agora, aplicando a Regra de Cramer:
Portanto, a solução do sistema é:

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