Um tanque tem a forma de um cone invertido com uma altura de 5 m e uma raio da base de 1 m . A vazão de enchimento de tanque é de 2 m^3 / min. Determine a velocidade ( em m/min ) de subida do nível da água quando a água está com profundidade de 3 m .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo um tanque em formato de cone invertido. A altura total do cone é de 5 metros e o raio da base é de 1 metro. A água está entrando nesse tanque a uma taxa de 2 metros cúbicos por minuto. O desafio é descobrir quão rápido o nível da água está subindo quando a profundidade da água é de 3 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente taxas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o volume da água no tanque está relacionado com a altura da água. Como o tanque é um cone, a fórmula do volume de um cone é:
Aqui, é o raio da base da água e é a altura da água.

Passo 3

Mas, como a água está subindo, o raio da superfície da água também muda com a altura . Sabendo que o tanque todo tem altura de 5 m e raio de 1 m, podemos descobrir a relação entre e .
Como o cone é similar em todas as alturas, a relação entre o raio e a altura é:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do volume:
Então, o volume da água em função da altura é:

Passo 5

Para encontrar a velocidade de subida do nível da água ( ), vamos diferenciar o volume em relação ao tempo :

Passo 6

Sabemos que a taxa de enchimento é 2 e queremos encontrar quando m. Vamos substituir esses valores na equação:
Simplificando:

Passo 7

Agora, isolamos :

Resposta

A velocidade de subida do nível da água quando a profundidade é de 3 metros é aproximadamente .

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