Um tanque tem a forma de um cone invertido com uma altura de 5 m e uma raio da base de 1 m . A vazão de enchimento de tanque é de
. Determine a velocidade (
) de subida do nível da água quando a água está com profundidade de 3 m .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo um tanque em formato de cone invertido. A altura total do cone é de 5 metros e o raio da base é de 1 metro. A água está entrando nesse tanque a uma taxa de 2 metros cúbicos por minuto. O desafio é descobrir quão rápido o nível da água está subindo quando a profundidade da água é de 3 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente taxas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o volume da água no tanque está relacionado com a altura da água. Como o tanque é um cone, a fórmula do volume
de um cone é:
Aqui,
é o raio da base da água e
é a altura da água.
Passo 3
Mas, como a água está subindo, o raio
da superfície da água também muda com a altura
. Sabendo que o tanque todo tem altura de 5 m e raio de 1 m, podemos descobrir a relação entre
e
.
Como o cone é similar em todas as alturas, a relação entre o raio e a altura é:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Então, o volume da água em função da altura é:
Passo 5
Para encontrar a velocidade de subida do nível da água (
), vamos diferenciar o volume
em relação ao tempo
:
Passo 6
Sabemos que a taxa de enchimento
é 2
e queremos encontrar
quando
m. Vamos substituir esses valores na equação:
Simplificando:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Resposta
A velocidade de subida do nível da água quando a profundidade é de 3 metros é aproximadamente
.