Uma lâmina tem densidade constante rho e o formato de um disco com centro na origem e raio R. Utilize a Lei de Newton da Gravitação (veja a Seção 13.4) para mostrar que a intensidade da força de atração que a lâmina exerce sobre um corpo com massa m colocado em um ponto (0, 0, d) no eixo z positivo é
F = 2 * pi * G * m * rho * d * (1/d - 1/raiz(R^2 + d^2))
[Sugestão: Divida o disco como na Figura 4 da Seção 15.4 e calcule primeiro a componente vertical da força exercida pelo sub-retângulo polar Rij.]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma lâmina em forma de disco com densidade constante rho, raio R, e está centrada na origem. Queremos calcular a força de atração gravitacional que essa lâmina exerce sobre um corpo de massa m que está posicionado no ponto no eixo z positivo.
Para resolver isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos diz como calcular a força gravitacional entre duas massas. Vamos precisar entender como integrar as pequenas forças de cada parte da lâmina sobre a massa m.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton:
Aqui, F é a força gravitacional, G é a constante gravitacional, e são as massas envolvidas, e r é a distância entre os centros das duas massas.
No nosso caso, a massa será uma pequena parte da lâmina, que podemos chamar de , e será a massa m posicionada no ponto . A distância r entre e m dependerá da posição de na lâmina.

Passo 3

Vamos parametrizar a posição de na lâmina usando coordenadas polares. Seja (r, θ) as coordenadas polares no disco, onde r varia de 0 a R e theta de 0 a .
A massa infinitesimal pode ser expressa como:
Aqui, é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 4

A distância entre o ponto na lâmina e o ponto é dada por:
A força gravitacional diferencial exercida por sobre m é então:

Passo 5

Agora, precisamos considerar a direção dessa força. Como estamos interessados apenas na componente vertical da força (ao longo do eixo z), vamos multiplicar pelo cosseno do ângulo entre a força e o eixo z.
O cosseno desse ângulo é:
Portanto, a componente vertical da força diferencial é:

Passo 6

Para encontrar a força total, vamos integrar sobre todo o disco. Primeiro, integramos em relação a theta de 0 a :
Então, a força total na direção z é:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Então:
Substituindo de volta :
Agora, avaliando a integral de 0 a R:

Passo 8

Substituindo essa avaliação de volta na expressão para F:
Simplificando:
No entanto, para manter a forma pedida no enunciado, mantemos a expressão original:

Resposta

A intensidade da força de atração é

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