Uma lâmina tem densidade constante
e o formato de um disco com centro na origem e raio
. Utilize a Lei de Newton da Gravitação (veja a Seção 13.4) para mostrar que a intensidade da força de atração que a lâmina exerce sobre um corpo com massa
colocado em um ponto
no eixo
positivo é
[Sugestão: Divida o disco como na Figura 4 da Seção 15.4 e calcule primeiro a componente vertical da força exercida pelo sub-retângulo polar
.]
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma lâmina em forma de disco com densidade constante
, raio
, e está centrada na origem. Queremos calcular a força de atração gravitacional que essa lâmina exerce sobre um corpo de massa
que está posicionado no ponto
no eixo
positivo.
Para resolver isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos diz como calcular a força gravitacional entre duas massas. Vamos precisar entender como integrar as pequenas forças de cada parte da lâmina sobre a massa
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton:
Aqui,
é a força gravitacional,
é a constante gravitacional,
e
são as massas envolvidas, e
é a distância entre os centros das duas massas.
No nosso caso, a massa
será uma pequena parte da lâmina, que podemos chamar de
, e
será a massa
posicionada no ponto
. A distância
entre
e
dependerá da posição de
na lâmina.
Passo 3
Vamos parametrizar a posição de
na lâmina usando coordenadas polares. Seja
as coordenadas polares no disco, onde
varia de
a
e
de
a
.
A massa infinitesimal
pode ser expressa como:
Aqui,
é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 4
A distância entre o ponto
na lâmina e o ponto
é dada por:
A força gravitacional diferencial exercida por
sobre
é então:
Passo 5
Agora, precisamos considerar a direção dessa força. Como estamos interessados apenas na componente vertical da força (ao longo do eixo
), vamos multiplicar
pelo cosseno do ângulo entre a força e o eixo
.
O cosseno desse ângulo é:
Portanto, a componente vertical da força diferencial é:
Passo 6
Para encontrar a força total, vamos integrar
sobre todo o disco. Primeiro, integramos em relação a
de
a
:
Então, a força total na direção
é:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. Então:
Substituindo de volta
:
Agora, avaliando a integral de
a
:
Passo 8
Substituindo essa avaliação de volta na expressão para
:
Simplificando:
No entanto, para manter a forma pedida no enunciado, mantemos a expressão original:
Resposta
A intensidade da força de atração é