Determine se cada uma das funções abaixo é uma bijetora de \mathbf{R} para \mathbf{R}.
f(x)=\left(x^{2}+1\right) /\left(x^{2}+2\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a função f:\mathbf{R}\to\mathbf{R} dada por
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}
é uma bijetora. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Domínio: \mathbf{R} (a função está definida para todo x\in\mathbf{R} porque x^{2}+2>0 sempre).
  • Contradomínio (codomínio) especificado: \mathbf{R}.
  • Objetivo: verificar se f é bijetora, ou seja, se é simultaneamente injetora e sobrejetora.

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Injetora (ou um-para-um): uma função f é injetora se entradas diferentes dão saídas diferentes; formalmente, f é injetora se
\forall x_{1},x_{2}\in\mathbf{R},\quad f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}.
Intuição: não pode haver dois x distintos que tenham a mesma imagem.
  • Sobrejetora (ou sobre): f é sobrejetora se para todo y no contradomínio existe pelo menos um x no domínio tal que f(x)=y; isto é, a imagem de f coincide com o contradomínio.
  • Bijetora: é simultaneamente injetora e sobrejetora.
Estratégia prática: primeiro testamos injetividade (basta achar um contraexemplo se não for injetora). Depois determinamos a imagem (conjunto de valores assumidos por f) para testar sobrejetividade.

Passo 3

Teste de injetividade — observação simples e contraexemplo:
  • Note que f depende apenas de x^{2}. Então, para qualquer x vale
f(-x)=\frac{(-x)^{2}+1}{(-x)^{2}+2}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}=f(x).
Isto mostra que f(x)=f(-x) para todo x. Portanto, sempre que x\neq0 existem dois valores distintos x e -x com a mesma imagem; isso já é suficiente para concluir que f não é injetora.
  • Exemplo concreto: x_{1}=1 e x_{2}=-1 são distintos, e
f(1)=\frac{1^{2}+1}{1^{2}+2}=\frac{2}{3},\qquad f(-1)=\frac{(-1)^{2}+1}{(-1)^{2}+2}=\frac{2}{3},
logo f(1)=f(-1) com 1\neq-1. Portanto f não é injetora.

Passo 4

Teste de sobrejetividade — vamos achar a imagem de f:
  • Reescrevemos f de forma conveniente:
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}=1-\frac{1}{x^{2}+2}.
Esta forma é útil porque mostra claramente como f(x) se comporta quando x^{2} varia.
  • Como x^{2}\ge 0 para todo x, temos x^{2}+2\ge 2. Então
0<\frac{1}{x^{2}+2}\le\frac{1}{2}.
Subtraindo tudo de 1 obtemos
1-\frac{1}{2}\le 1-\frac{1}{x^{2}+2}<1,
ou seja
\frac{1}{2}\le f(x)<1.
  • Verificações de extremos:
    • Quando x=0 temos f(0)=\dfrac{0+1}{0+2}=\dfrac{1}{2}, então o valor inferior \dfrac{1}{2} é atingido.
    • À medida que |x|\to\infty, x^{2}+2\to\infty e \dfrac{1}{x^{2}+2}\to 0^{+}, logo f(x)\to 1^{-}. O valor 1 nunca é alcançado por nenhum x finito, apenas é o limite superior.
  • Conclusão sobre a imagem: o conjunto de valores de f é
f(\mathbf{R})=\left[\tfrac{1}{2},\,1\right).

Passo 5

Conclusão final sobre sobrejetividade e bijetividade:
  • O contradomínio pedido era \mathbf{R}, mas a imagem real é \left[\tfrac{1}{2},1\right), que é estritamente menor que \mathbf{R}. Portanto f não é sobrejetora.
  • Já demonstramos também que f não é injetora.
  • Como bijetividade exige ser ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, concluímos que f não é bijetora de \mathbf{R} para \mathbf{R}.

Resposta

Não. A função não é bijetora: não é injetora (por exemplo f(1)=f(-1)=\tfrac{2}{3}) e não é sobrejetora, pois f(\mathbf{R})=\left[\tfrac{1}{2},1\right)\subsetneq\mathbf{R}.

Exercícios relacionados