Determine se cada uma das funções abaixo é uma bijetora de
para
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a função
dada por
é uma bijetora. Informações importantes extraídas do enunciado:
- Domínio:
(a função está definida para todo porque sempre). - Contradomínio (codomínio) especificado:
. - Objetivo: verificar se
é bijetora, ou seja, se é simultaneamente injetora e sobrejetora.
Passo 2
Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Injetora (ou um-para-um): uma função
é injetora se entradas diferentes dão saídas diferentes; formalmente, é injetora se
Intuição: não pode haver dois
distintos que tenham a mesma imagem.
- Sobrejetora (ou sobre):
é sobrejetora se para todo no contradomínio existe pelo menos um no domínio tal que ; isto é, a imagem de coincide com o contradomínio. - Bijetora: é simultaneamente injetora e sobrejetora.
Estratégia prática: primeiro testamos injetividade (basta achar um contraexemplo se não for injetora). Depois determinamos a imagem (conjunto de valores assumidos por
) para testar sobrejetividade.
Passo 3
Teste de injetividade — observação simples e contraexemplo:
- Note que
depende apenas de . Então, para qualquer vale
Isto mostra que
para todo
. Portanto, sempre que
existem dois valores distintos
e
com a mesma imagem; isso já é suficiente para concluir que
não é injetora.
- Exemplo concreto:
e são distintos, e
logo
com
. Portanto
não é injetora.
Passo 4
Teste de sobrejetividade — vamos achar a imagem de
:
- Reescrevemos
de forma conveniente:
Esta forma é útil porque mostra claramente como
se comporta quando
varia.
- Como
para todo , temos . Então
Subtraindo tudo de
obtemos
ou seja
- Verificações de extremos:
- Quando
temos , então o valor inferior é atingido. - À medida que
, e , logo . O valor nunca é alcançado por nenhum finito, apenas é o limite superior.
- Quando
- Conclusão sobre a imagem: o conjunto de valores de
é
Passo 5
Conclusão final sobre sobrejetividade e bijetividade:
- O contradomínio pedido era
, mas a imagem real é , que é estritamente menor que . Portanto não é sobrejetora. - Já demonstramos também que
não é injetora. - Como bijetividade exige ser ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, concluímos que
não é bijetora de para .
Resposta
Não. A função não é bijetora: não é injetora (por exemplo
) e não é sobrejetora, pois
.