Determine se cada uma das funções abaixo é uma bijetora de
para
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para determinar se ela é uma bijetora de
para
.
Informações dadas:
- Domínio:
.
- Contradomínio (alvo):
.
- Regra:
.
O que é pedido:
- Verificar se
é injetora (cada valor da imagem vem de no máximo um
).
- Verificar se
é sobrejetora (cada
é imagem de algum
).
Se as duas propriedades forem verdadeiras, será bijetora.
Se as duas propriedades forem verdadeiras,
Passo 2
Definição e ideia para injetividade.
Definição formal:
é injetora se, sempre que
, então
.
Intuição simples: para não haver duas entradas diferentes que produzam a mesma saída. Uma maneira prática de provar injetividade é assumir
e deduzir
.
Passo 3
Prova detalhada da injetividade para
.
Começamos supondo que
e
Subtraindo os dois lados,
Fatoramos a diferença de cubos usando a identidade conhecida:
Portanto, pelo produto ser zero, ou
(ou seja,
) ou
Agora mostramos que a segunda possibilidade não ocorre, salvo no caso trivial
. Observe que
O lado direito é soma de três quadrados (cada termo é
), então é
. Para que essa soma seja igual a zero, cada quadrado precisa ser zero, logo
e
e
, o que implica
. Mas nesse caso já temos
.
Conclusão: não existe caso em que
com
. Logo
é injetora.
(Dica prática: a fatoração e o argumento com soma de quadrados é um jeito sólido e elementar — dá para fazer na prova sem cálculo.)
Passo 4
Definição e ideia para sobrejetividade.
Definição formal:
é sobrejetora se, para todo
, existe
tal que
.
Intuição simples: toda saída desejada
é atingida por algum
. Um caminho direto é fornecer uma fórmula que, dada
, produz um
com
.
Passo 5
Prova detalhada da sobrejetividade para
.
Seja
um número qualquer. Definimos
isto é,
é a raiz cúbica real de
. Para números reais a raiz cúbica existe e é única: raízes ímpares de números reais são sempre reais (por exemplo, a raiz cúbica de um número negativo é negativa). Alternativamente, uma fórmula explícita é
que é um número real e satisfaz
.
Calculando,
Assim, para qualquer
encontramos
com
. Portanto
é sobrejetora.
(Outra justificativa intuitiva: a função
é contínua e
,
, então por continuidade atinge todo valor real — isso usa o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ideia mais avançada mas também válida.)
Passo 6
Conclusão final e forma da inversa.
Como mostramos que
é injetora (Passo 3) e sobrejetora (Passo 5), concluímos que
é bijetora de
para
.
A inversa explícita é
Resposta
A função
é bijetora de
para
.