Determine se cada uma das funções abaixo é uma bijetora de \mathbf{R} para \mathbf{R}.
f(x)=x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbf{R}\to\mathbf{R} definida por f(x)=x^{3} e pede para determinar se ela é uma bijetora de \mathbf{R} para \mathbf{R}.
Informações dadas:
\; - Domínio: \mathbf{R}.
\; - Contradomínio (alvo): \mathbf{R}.
\; - Regra: f(x)=x^{3}.
O que é pedido:
\; - Verificar se f é injetora (cada valor da imagem vem de no máximo um x).
\; - Verificar se f é sobrejetora (cada y\in\mathbf{R} é imagem de algum x).
Se as duas propriedades forem verdadeiras, f será bijetora.

Passo 2

Definição e ideia para injetividade.
Definição formal: f é injetora se, sempre que f(x_{1})=f(x_{2}), então x_{1}=x_{2}.
Intuição simples: para não haver duas entradas diferentes que produzam a mesma saída. Uma maneira prática de provar injetividade é assumir f(x_{1})=f(x_{2}) e deduzir x_{1}=x_{2}.

Passo 3

Prova detalhada da injetividade para f(x)=x^{3}.
Começamos supondo que x_{1},x_{2}\in\mathbf{R} e
x_{1}^{3}=x_{2}^{3}.
Subtraindo os dois lados,
x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=0.
Fatoramos a diferença de cubos usando a identidade conhecida:
x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})=0.
Portanto, pelo produto ser zero, ou x_{1}-x_{2}=0 (ou seja, x_{1}=x_{2}) ou
x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=0.
Agora mostramos que a segunda possibilidade não ocorre, salvo no caso trivial x_{1}=x_{2}=0. Observe que
x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=\tfrac{1}{2}\bigl(x_{1}^{2}+(x_{1}+x_{2})^{2}+x_{2}^{2}\bigr).
O lado direito é soma de três quadrados (cada termo é \ge 0), então é \ge 0. Para que essa soma seja igual a zero, cada quadrado precisa ser zero, logo x_{1}=0 e x_{1}+x_{2}=0 e x_{2}=0, o que implica x_{1}=x_{2}=0. Mas nesse caso já temos x_{1}=x_{2}.
Conclusão: não existe caso em que x_{1}^{3}=x_{2}^{3} com x_{1}\neq x_{2}. Logo f é injetora.
(Dica prática: a fatoração e o argumento com soma de quadrados é um jeito sólido e elementar — dá para fazer na prova sem cálculo.)

Passo 4

Definição e ideia para sobrejetividade.
Definição formal: f é sobrejetora se, para todo y\in\mathbf{R}, existe x\in\mathbf{R} tal que f(x)=y.
Intuição simples: toda saída desejada y é atingida por algum x. Um caminho direto é fornecer uma fórmula que, dada y, produz um x com f(x)=y.

Passo 5

Prova detalhada da sobrejetividade para f(x)=x^{3}.
Seja y\in\mathbf{R} um número qualquer. Definimos
x=\sqrt[3]{y},
isto é, x é a raiz cúbica real de y. Para números reais a raiz cúbica existe e é única: raízes ímpares de números reais são sempre reais (por exemplo, a raiz cúbica de um número negativo é negativa). Alternativamente, uma fórmula explícita é
x=\operatorname{sgn}(y)\,|y|^{1/3},
que é um número real e satisfaz (\operatorname{sgn}(y)\,|y|^{1/3})^{3}=y.
Calculando,
f(x)=x^{3}=\bigl(\sqrt[3]{y}\bigr)^{3}=y.
Assim, para qualquer y encontramos x\in\mathbf{R} com f(x)=y. Portanto f é sobrejetora.
(Outra justificativa intuitiva: a função x\mapsto x^{3} é contínua e \lim_{x\to\infty}x^{3}=\infty, \lim_{x\to-\infty}x^{3}=-\infty, então por continuidade atinge todo valor real — isso usa o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ideia mais avançada mas também válida.)

Passo 6

Conclusão final e forma da inversa.
Como mostramos que f é injetora (Passo 3) e sobrejetora (Passo 5), concluímos que f é bijetora de \mathbf{R} para \mathbf{R}.
A inversa explícita é
f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}.

Resposta

A função f(x)=x^{3} é bijetora de \mathbf{R} para \mathbf{R}.

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