Seja a hipérbole de eixo vertical e centro na origem, cuja equação polar é \rho=\frac{24}{5-7 \cos \theta}. Determine sua equação reduzida e as equações paramétricas.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole cuja equação em coordenadas polares (com o polo num dos focos) é
\rho=\frac{24}{5-7\cos\theta}\,.
Queremos passar para coordenadas cartesianas (x,y), escrever na forma reduzida (canônica) e então obter equações paramétricas.

Passo 2

Em coordenadas polares com origem no foco, \rho=r, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Multiplicando ambos os lados por 5-7\cos\theta e substituindo r\cos\theta=x e r\sin\theta=y, temos
r\,(5-7\cos\theta)=24 \quad\Longrightarrow\quad 5r-7x=24 \quad\Longrightarrow\quad 5\sqrt{x^2+y^2}=24+7x.

Passo 3

Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
25(x^2+y^2)=(24+7x)^2 \quad\Longrightarrow\quad 25x^2+25y^2=576+336x+49x^2
\Longrightarrow\quad -24x^2+25y^2-336x-576=0 \quad\Longrightarrow\quad 24x^2-25y^2+336x+576=0.
Agora completamos o quadrado em x:
24\bigl(x^2+14x\bigr)-25y^2+576=0 \quad\Longrightarrow\quad 24\bigl((x+7)^2-49\bigr)-25y^2+576=0
\Longrightarrow\quad 24(x+7)^2-1176-25y^2+576=0 \quad\Longrightarrow\quad 24(x+7)^2-25y^2-600=0.

Passo 4

Dividindo por 600 e rearranjando, achamos a forma reduzida canônica
\frac{(x+7)^2}{25}-\frac{y^2}{24}=1.
Aqui o centro da hipérbole é C=(-7,0), com semi-eixo real a=5 e semi-eixo imaginário b=\sqrt{24}=2\sqrt6.

Passo 5

Para as equações paramétricas há duas escolhas comuns:
(a) trigonométrica com secante e tangente, t\in\mathbb R\): \[x+7=5\operatorname{sec} t, \quad y=2\sqrt6\,\tan t \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x=-7+5\operatorname{sec} t,\\\ y=2\sqrt6\,\tan t. \end{cases}
(b) hiperbólica com cosh e sinh, (u\in\mathbb R]:
x+7=5\operatorname{cosh} u, \quad y=2\sqrt6\,\operatorname{sinh} u \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x=-7+5\operatorname{cosh} u,\\\ y=2\sqrt6\,\operatorname{sinh} u. \end{cases}

Resposta

A forma reduzida é
\frac{(x+7)^2}{25}-\frac{y^2}{24}=1.
Duas possíveis parámetrizações são
\boxed{x=-7+5\operatorname{sec} t,\quad y=2\sqrt6\,\tan t,\quad t\in\mathbb R}
ou
\boxed{x=-7+5\operatorname{cosh} u,\quad y=2\sqrt6\,\operatorname{sinh} u,\quad u\in\mathbb R.}

Exercícios relacionados