Seja a hipérbole de eixo vertical e centro na origem, cuja equação polar é
. Determine sua equação reduzida e as equações paramétricas.
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole cuja equação em coordenadas polares (com o polo num dos focos) é
Queremos passar para coordenadas cartesianas
, escrever na forma reduzida (canônica) e então obter equações paramétricas.
Passo 2
Em coordenadas polares com origem no foco,
,
,
. Multiplicando ambos os lados por
e substituindo
e
, temos
Passo 3
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora completamos o quadrado em
:
Passo 4
Dividindo por
e rearranjando, achamos a forma reduzida canônica
Aqui o centro da hipérbole é
, com semi-eixo real
e semi-eixo imaginário
.
Passo 5
Para as equações paramétricas há duas escolhas comuns:
(a) trigonométrica com secante e tangente,
(b) hiperbólica com cosh e sinh, (u\in\mathbb R]:
Resposta
A forma reduzida é
Duas possíveis parámetrizações são
ou