Determine se cada uma das integrais a seguir diverge ou converge.
\int_{0}^{+\infty} \frac{x d x}{\sqrt[3]{9-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{+\infty}\frac{x\,dx}{\sqrt[3]{9 - x^{2}}}.
Aqui há duas fontes de impropriedade: o ponto x=3, onde o denominador se anula, e o limite superior infinito. Vamos usar o critério de comparação e análise de comportamento assintótico em cada região.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes
\int_{0}^{+\infty}\frac{x\,dx}{\sqrt[3]{9 - x^{2}}} =\int_{0}^{3}\frac{x\,dx}{\sqrt[3]{9 - x^{2}}} +\int_{3}^{+\infty}\frac{x\,dx}{\sqrt[3]{9 - x^{2}}}.
Para x\to3^{-} escrevemos t=3-x, então
9 - x^{2}=(3-x)(3+x)\sim6\,t,
e como x\sim3 o integrando comporta-se como
\frac{x}{\sqrt[3]{9 - x^{2}}}\sim\frac{3}{\sqrt[3]{6\,t}} \sim C\,t^{-\tfrac13}.
Como \int_{0}t^{-1/3}dt converge, a parte de 0 a 3 é convergente.

Passo 3

Para x>3 usamos a raiz cúbica real de número negativo, que dá
\sqrt[3]{9 - x^{2}}=-\sqrt[3]{x^{2}-9},
logo o integrando vira
\frac{x}{\sqrt[3]{9 - x^{2}}} =-\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2}-9}}.
Para x\to+\infty temos \sqrt[3]{x^{2}-9}\sim x^{2/3}, então
\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2}-9}}\sim x^{1/3}.
Como \int^{\infty}x^{1/3}dx diverge (poder de > -1), a parte de 3 a +\infty é divergente.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados