Exemplo 4.13.4 Verifique se a integral \int_{0}^{4} \frac{d x}{\sqrt{x}} é convergente ou divergente.
Solução: Observe que
\int_{0}^{4} \frac{d x}{\sqrt{x}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{x}^{4} \frac{d x}{\sqrt{x}}=\left.\lim _{x \rightarrow 0^{+}} 2 \sqrt{x}\right|_{x} ^{4}=2\left(\sqrt{4}-\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x}\right)=2(2-\sqrt{0})=4
Portanto, a integral \int_{0}^{4} \frac{d x}{\sqrt{x}} é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
\int_{0}^{4}\frac{dx}{\sqrt{x}}
e verificar se ela é convergente ou divergente. O ponto crítico é x=0, onde o integrando \tfrac1{\sqrt{x}} fica singular. Vamos usar definição de integral imprópria e antiderivada de x^{-1/2}.

Passo 2

Expressamos a integral como limite próximo da singularidade:
\int_{0}^{4}\frac{dx}{\sqrt{x}} =\lim_{a\to0^{+}}\int_{a}^{4}x^{-\tfrac12}\,dx.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de x^{-\tfrac12}. Como a regra geral diz
\int x^{m}\,dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}\quad(m\neq -1),
para m=-\tfrac12 temos
\int x^{-\tfrac12}\,dx =\frac{x^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} =\frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} =2\,\sqrt{x}.

Passo 4

Usamos essa antiderivada no intervalo de a a 4:
\int_{a}^{4}x^{-\tfrac12}\,dx =\Bigl.2\sqrt{x}\Bigr|_{x=a}^{x=4} =2\bigl(\sqrt{4}-\sqrt{a}\bigr) =2\bigl(2-\sqrt{a}\bigr).
Agora voltamos ao limite a\to0^{+}:
\lim_{a\to0^{+}}2\bigl(2-\sqrt{a}\bigr) =2\bigl(2-0\bigr) =4.

Passo 5

Como o limite é finito ( 4), concluímos que a integral imprópria converge e seu valor é 4.

Resposta

A integral é convergente; seu valor é 4.

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