Determine se cada uma das integrais a seguir diverge ou converge.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral impropria \r
O conteúdo que vamos usar é o estudo de singularidades em extremidades de integrais impróprias do tipo \r
quando
não é contínua em
. Precisamos verificar o comportamento de
quando
.
Passo 2
Observamos que para
o denominador
é positivo e a função é contínua, mas em
temos \r
logo a integral é imprópria no limite superior
.
Passo 3
Para estudar a singularidade, note que perto de
podemos escrever \r
pois
quando
. Assim \r
Comparando com a integral-padrão \r
sabemos que
converge (é o caso
). Portanto a integral original converge também.
Passo 4
Para obter o valor exato, usamos a primitiva conhecida \r
Aqui
, então \r
Resposta
A integral converge e seu valor é
.