Determine se cada uma das integrais a seguir diverge ou converge.
\int_{2}^{4} \frac{d t}{\sqrt{16-t^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral impropria \r
\int_{2}^{4}\frac{dt}{\sqrt{16 - t^{2}}}. \r
O conteúdo que vamos usar é o estudo de singularidades em extremidades de integrais impróprias do tipo \r
\int_{a}^{b}f(t)\,dt \r
quando f não é contínua em b. Precisamos verificar o comportamento de f(t)=1/\sqrt{16 - t^{2}} quando t\to4^{-}.

Passo 2

Observamos que para t\in[2,4) o denominador \sqrt{16 - t^{2}} é positivo e a função é contínua, mas em t=4 temos \r
\sqrt{16 - 4^{2}}=\sqrt{0}=0, \r
logo a integral é imprópria no limite superior t=4.

Passo 3

Para estudar a singularidade, note que perto de t=4 podemos escrever \r
16 - t^{2} = (4 - t)(4 + t)\approx (4 - t)\cdot8, \r
pois 4+t\approx8 quando t\to4. Assim \r
\frac{1}{\sqrt{16 - t^{2}}}\approx\frac{1}{\sqrt{8\,\bigl(4 - t\bigr)}}=\frac{1}{\sqrt{8}}\,(4 - t)^{-\tfrac12}. \r
Comparando com a integral-padrão \r
\int_{2}^{4}(4 - t)^{-\tfrac12}\,dt\,, \r
sabemos que \int_{c}^{4}(4 - t)^{-\tfrac12}dt converge (é o caso p=\tfrac12<1). Portanto a integral original converge também.

Passo 4

Para obter o valor exato, usamos a primitiva conhecida \r
\int\frac{dt}{\sqrt{a^{2}-t^{2}}}=\arcsin\bigl(t/a\bigr)+C\quad(a>0). \r
Aqui a=4, então \r
\int_{2}^{4}\frac{dt}{\sqrt{16 - t^{2}}}\r =\biggl[\arcsin\bigl(t/4\bigr)\biggr]_{2}^{4}\r =\arcsin(1)-\arcsin\bigl(\tfrac{2}{4}\bigr)\r =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\r =\frac{\pi}{3}.

Resposta

A integral converge e seu valor é \displaystyle \frac{\pi}{3}.

Exercícios relacionados