Exemplo 4.13.3 Verifique se a integral \int_{2}^{+\infty} \operatorname{sen}(x) d x é convergente ou divergente.
Solução: Temos que
\int_{2}^{+\infty} \operatorname{sen}(x) d x=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{2}^{b} \operatorname{sen}(x) d x=-\left.\lim _{b \rightarrow+\infty} \cos (x)\right|_{2} ^{b}=1-\lim _{b \rightarrow+\infty} \cos (b)
Como -1 \leq \cos (b) \leq 1 para todo x \in \mathbb{R}, segue que essa integral diverge.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{2}^{+\infty} \sin(x)\,dx
é convergente ou divergente.
O conteúdo envolve definição de integral imprópria como limite e cálculo da primitiva de \sin(x).

Passo 2

Escrevemos a integral imprópria como limite de integrais próprias:
\int_{2}^{+\infty} \sin(x)\,dx = \lim_{b\to+\infty}\int_{2}^{b}\sin(x)\,dx.

Passo 3

Calculamos a primitiva de \sin(x), que é
\int \sin(x)\,dx = -\cos(x),
e avaliamos de 2 a b:
\int_{2}^{b}\sin(x)\,dx = \bigl[-\cos(x)\bigr]_{2}^{b} = -\cos(b) - \bigl(-\cos(2)\bigr) = \cos(2) - \cos(b).

Passo 4

Agora consideramos o limite
\lim_{b\to+\infty}\bigl(\cos(2) - \cos(b)\bigr) = \cos(2) - \lim_{b\to+\infty}\cos(b).
Como \cos(b) oscila entre -1 e 1 quando b\to\infty, o limite \lim_{b\to\infty}\cos(b) não existe. Logo o valor da integral não se estabiliza.

Resposta

A integral
\int_{2}^{+\infty}\sin(x)\,dx
é divergente.

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