Você vai operar um canhão, que pode ajustar o ângulo de disparo ( \theta), para atingir um alvo a 5 Km de distância. A velocidade inicial da bala é de 250 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine os dois ângulos possíveis que você pode usar para atingir o alvo. Determine a altura máxima em cada um dos disparos.

Passo 1

O enunciado pede para achar os ângulos de disparo \theta que fazem a bala, lançada com velocidade inicial v_0 = 250\\ \mathrm{m/s}, atingir um alvo a 5\\ \mathrm{km} de distância (alcance horizontal R=5000\\ \mathrm{m}). Também queremos a altura máxima alcançada em cada um desses disparos. O conteúdo usado será a cinemática de projéteis sem resistência do ar, com as fórmulas:
R = \frac{v_0^2}{g}\,\sin(2\theta)
e
H_{\max} = \frac{v_0^2\,\sin^2\theta}{2g}
onde g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} é a aceleração da gravidade.

Passo 2

Usando a fórmula do alcance, igualamos:
5000 = \frac{(250)^2}{9{,}8}\,\sin(2\theta).
Isolando \sin(2\theta) vem
\sin(2\theta) = \frac{5000 \cdot 9{,}8}{250^2} = \frac{49000}{62500} = 0{,}784.
Como 0{,}784<1, há duas soluções no intervalo [0,180^\circ] para 2\theta.

Passo 3

As soluções para 2\theta são
2\theta_1 = \arcsin(0{,}784)\approx 51{,}7^\circ, \quad 2\theta_2 = 180^\circ - 51{,}7^\circ = 128{,}3^\circ.
Logo,
\theta_1 = \frac{51{,}7^\circ}{2} \approx 25{,}9^\circ, \quad \theta_2 = \frac{128{,}3^\circ}{2} \approx 64{,}2^\circ.

Passo 4

Agora calculamos a altura máxima em cada disparo com
H_{\max} = \frac{v_0^2\,\sin^2\theta}{2g}.
Para \theta_1\approx 25{,}9^\circ, \sin\theta_1\approx 0{,}437, então
H_{\max,1} = \frac{(250)^2\,(0{,}437)^2}{2\cdot 9{,}8} \approx \frac{62500 \cdot 0{,}191}{19{,}6} \approx 606\\ \mathrm{m}.
Para \theta_2\approx 64{,}2^\circ, \sin\theta_2\approx 0{,}900, então
H_{\max,2} = \frac{(250)^2\,(0{,}900)^2}{2\cdot 9{,}8} \approx \frac{62500 \cdot 0{,}810}{19{,}6} \approx 2585\\ \mathrm{m}.

Resposta

Os dois ângulos possíveis são
\theta_1\approx 25{,}9^\circ e \theta_2\approx 64{,}2^\circ.
As alturas máximas correspondentes são
para \theta_1: H_{\max,1}\approx 606\\ \mathrm{m},
para \theta_2: H_{\max,2}\approx 2585\\ \mathrm{m}.

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