Exemplo 4.13.1 Calcule o valor da área da região delimitada pelas curvas y=e^{-x}, o eixo x e a reta x=0.
Solução: Como a função f(x)=e^{-x}>0, para todo x, segue que a área da região fica dada por
\begin{aligned} A & =\int_{0}^{+\infty}\left(e^{-x}-0\right) \Rightarrow A=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{0}^{b} e^{-x} d x=\left.\lim _{b \rightarrow+\infty} e^{-x}\right|_{0} ^{b}= \\\ & =\lim _{b \rightarrow+\infty}\left(-e^{-b}-\left(-e^{0}\right)\right)=1-\lim _{b \rightarrow+\infty} e^{-b}=1-0=1 \text { u.a.. } \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pela curva y=e^{-x}, pelo eixo x e pela reta x=0, estendendo-se até x\to+\infty. Como a função é positiva, a área corresponde a uma integral imprópria de f(x)=e^{-x}. Vamos usar o conceito de integral imprópria e a antiderivada de e^{-x}.

Passo 2

Representamos a área A como
A = \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\,dx

Passo 3

Para calcular essa integral, primeiro encontramos a antiderivada de e^{-x}. Sabemos que
\int e^{-x}\,dx = -\,e^{-x} + C

Passo 4

Aplicamos o limite de b\to+\infty à integral de 0 a b:
A = \lim_{b\to+\infty} \int_{0}^{b} e^{-x}\,dx = \lim_{b\to+\infty} \Bigl[-\,e^{-x}\Bigr]_{0}^{b}
= \lim_{b\to+\infty} \bigl(-e^{-b} -(-e^{0})\bigr) = \lim_{b\to+\infty} \bigl(1 - e^{-b}\bigr) = 1

Resposta

A área vale 1 unidade de área.

Exercícios relacionados