Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{0}^{+\infty} \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} \cos(x)\,dx
é convergente ou divergente. Vamos usar a definição de integral imprópria e verificar o limite
\displaystyle \lim_{A\to+\infty}\int_{0}^{A}\cos(x)\,dx.

Passo 2

Escrevemos a integral como
\int_{0}^{+\infty}\cos(x)\,dx =\lim_{A\to+\infty}\int_{0}^{A}\cos(x)\,dx.
A primitiva de \cos(x) é \sin(x).

Passo 3

Calculamos a integral de 0 até A:
\int_{0}^{A}\cos(x)\,dx =\sin(x)\Big|_{0}^{A} =\sin(A)-\sin(0) =\sin(A).

Passo 4

Agora avaliamos o limite
\lim_{A\to+\infty}\sin(A).
Como \sin(A) oscila entre -1 e 1 e não tende a um único valor, esse limite não existe.

Resposta

A integral \displaystyle \int_{0}^{+\infty}\cos(x)\,dx é divergente.

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