Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{0}^{+\infty} \frac{5}{2 x+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} \frac{5}{2x+3}\,dx
identificando se ela converge ou diverge. O conteúdo usado será o conceito de integral imprópria e o cálculo de antiderivada de uma função racional simples.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de uma integral própria:
\int_{0}^{+\infty} \frac{5}{2x+3}\,dx = \lim_{b\to+\infty} \int_{0}^{b} \frac{5}{2x+3}\,dx.

Passo 3

Para obter a antiderivada usamos a substituição u=2x+3, du=2\,dx. Assim,
\int \frac{5}{2x+3}\,dx = 5 \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} = \frac{5}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{5}{2}\ln\lvert u\rvert + C = \frac{5}{2}\ln\lvert 2x+3\rvert + C.

Passo 4

Avaliamo-la de 0 até b:
\int_{0}^{b} \frac{5}{2x+3}\,dx = \frac{5}{2}\Bigl[\ln(2b+3)-\ln(3)\Bigr].
Agora fazemos b\to+\infty. Como \ln(2b+3)\to+\infty, o valor da integral tende a +\infty. Logo, a integral diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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