Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{1}^{+\infty} \operatorname{sen}(\pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{1}^{+\infty}\sin(\pi x)\,dx.
O conteúdo principal é integrar uma função oscilante em um intervalo infinito e ver se o limite do valor da primitiva existe quando o limite superior tende a +\infty.

Passo 2

Encontramos uma primitiva de \sin(\pi x). Como
\frac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{1}{\pi}\cos(\pi x)\bigr) =-\tfrac{1}{\pi}\bigl(-\pi\sin(\pi x)\bigr) =\sin(\pi x),
temos
\int\sin(\pi x)\,dx =-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)+C.

Passo 3

Aplicando o teorema fundamental do cálculo para a integral imprópria, escrevemos
\int_{1}^{t}\sin(\pi x)\,dx =\Bigl[-\tfrac{1}{\pi}\cos(\pi x)\Bigr]_{x=1}^{x=t} =-\frac{1}{\pi}\cos(\pi t)+\frac{1}{\pi}\cos(\pi\cdot1).
Como \cos(\pi\cdot1)=\cos(\pi)=-1, isso fica
\int_{1}^{t}\sin(\pi x)\,dx =-\frac{1}{\pi}\cos(\pi t)-\frac{1}{\pi}.

Passo 4

Para verificar a convergência, analisamos
\lim_{t\to+\infty}\Bigl(-\tfrac{1}{\pi}\cos(\pi t)-\tfrac{1}{\pi}\Bigr).
O termo \cos(\pi t) oscila entre -1 e 1 à medida que t\to+\infty, de modo que esse limite não existe.

Resposta

A integral
\int_{1}^{+\infty}\sin(\pi x)\,dx
é divergente.

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