Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{-\infty}^{3} \frac{1}{x^{2}+9} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{-\infty}^{3}\frac{1}{x^{2}+9}\,dx
Este é um caso de integral com limite inferior infinito. Vamos usar o conceito de limite e a antiderivada de \frac{1}{x^{2}+a^{2}}.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite
I = \lim_{A\to -\infty}\int_{A}^{3}\frac{1}{x^{2}+9}\,dx.

Passo 3

Sabemos que
\int \frac{1}{x^{2}+9}\,dx = \frac{1}{3}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C.

Passo 4

Aplicando a antiderivada e avaliando o limite, temos
I = \lim_{A\to -\infty}\left[\frac{1}{3}\arctan\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)\right]_{x=A}^{x=3} =\frac{1}{3}\bigl(\arctan(1)-\lim_{A\to -\infty}\arctan\!(\tfrac{A}{3})\bigr).
Como \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4} e \lim_{u\to -\infty}\arctan(u)=-\tfrac{\pi}{2}, segue
I = \frac{1}{3}\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr) =\frac{1}{3}\cdot\frac{3\pi}{4} =\frac{\pi}{4}.

Resposta

A integral é convergente e vale \displaystyle \frac{\pi}{4}.

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