Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{(x+2)(x+3)} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{(x+2)(x+3)}\,dx
que é imprópria por ter limite superior infinito. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias e, para decidir sobre convergência, vamos comparar o comportamento de f(x)=\frac{x}{(x+2)(x+3)} quando x\to+\infty e, em paralelo, obter a primitiva por decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de
\frac{x}{(x+2)(x+3)}.
Procuramos A\) e \(B\) tais que \[\frac{x}{(x+2)(x+3)} =\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}.
Multiplicando em comum denominador:
x = A(x+3) + B(x+2) = (A+B)x + (3A+2B).
Comparando coeficientes em x e constantes:
\begin{cases} A+B=1,\\\\ 3A+2B=0. \end{cases}
Dessa segunda equação vem 3A+2B=0\implies B=-\tfrac{3}{2}A\]. Substituindo em \(A+B=1:
A - \tfrac{3}{2}A =1 \implies -\tfrac{1}{2}A=1 \implies A=-2,\quad B=3.
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\frac{x}{(x+2)(x+3)} = -\frac{2}{x+2} + \frac{3}{x+3}.

Passo 3

Com essa decomposição, encontramos a primitiva:
\int\frac{x}{(x+2)(x+3)}\,dx = \int\biggl(-\frac{2}{x+2} + \frac{3}{x+3}\biggr)\,dx = -2\ln(x+2) + 3\ln(x+3) + C.

Passo 4

Agora avaliamos a integral imprópria por definição:
\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{(x+2)(x+3)}\,dx =\lim_{M\to+\infty}\Bigl[-2\ln(x+2)+3\ln(x+3)\Bigr]_{x=0}^{x=M}.
Para x=M grande:
-2\ln(M+2)+3\ln(M+3) =( -2+3)\ln M + \text{termos constantes em }M = \ln M + O(1),
que cresce sem limite quando M\to+\infty. Portanto o limite não existe finito, a integral diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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