Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{(x+2)(x+3)} d x
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{(x+2)(x+3)}\,dx
que é imprópria por ter limite superior infinito. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias e, para decidir sobre convergência, vamos comparar o comportamento de f(x)=\frac{x}{(x+2)(x+3)} quando x\to+\infty e, em paralelo, obter a primitiva por decomposição em frações parciais.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais de
\frac{x}{(x+2)(x+3)}.
Procuramos A\) e \(B\) tais que
\[\frac{x}{(x+2)(x+3)} =\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}.
Multiplicando em comum denominador:
x = A(x+3) + B(x+2) = (A+B)x + (3A+2B).
Comparando coeficientes em x e constantes:
\begin{cases} A+B=1,\\\\ 3A+2B=0. \end{cases}
Dessa segunda equação vem 3A+2B=0\implies B=-\tfrac{3}{2}A\]. Substituindo em \(A+B=1:
A - \tfrac{3}{2}A =1 \implies -\tfrac{1}{2}A=1 \implies A=-2,\quad B=3.