Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
e, se convergente, calcular o seu valor. O conteúdo envolve integrais impróprias em limites infinitos e a fórmula básica
Passo 2
Verificamos que o denominador
não se anula para nenhum
, pois o discriminante é
Logo o integrando é contínuo para todo real e só precisamos checar os limites em
.
Passo 3
Para pôr o integrando na forma padrão, completamos o quadrado:
Passo 4
Fazemos a mudança de variável
de modo que quando
temos
e quando
temos
. A integral passa a ser
Passo 5
Reconhecemos a forma
com
, ou seja
. Portanto
Como não houve divergência em nenhum passo, a integral é convergente.
Resposta
A integral é convergente e vale