Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}+4 x+6}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4x+6}
e, se convergente, calcular o seu valor. O conteúdo envolve integrais impróprias em limites infinitos e a fórmula básica
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{\pi}{a}.

Passo 2

Verificamos que o denominador x^{2}+4x+6 não se anula para nenhum x\in\mathbb{R}, pois o discriminante é
\Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot6 =16-24=-8<0.
Logo o integrando é contínuo para todo real e só precisamos checar os limites em x\to\pm\infty.

Passo 3

Para pôr o integrando na forma padrão, completamos o quadrado:
x^{2}+4x+6 = (x+2)^{2}+2.

Passo 4

Fazemos a mudança de variável
u = x+2,
de modo que quando x\to -\infty temos u\to -\infty e quando x\to\infty temos u\to\infty. A integral passa a ser
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x+2)^{2}+2} =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{du}{u^{2}+2}.

Passo 5

Reconhecemos a forma \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{\pi}{a} com a^{2}=2, ou seja a=\sqrt{2}. Portanto
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{du}{u^{2}+2} =\frac{\pi}{\sqrt{2}}.
Como não houve divergência em nenhum passo, a integral é convergente.

Resposta

A integral é convergente e vale
\frac{\pi}{\sqrt{2}}.

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