Determine se cada integral é convergente ou divergente.
integral0^1 1(x-1)^2 / 3 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
integral0^1 1(x-1)^2/3,dx
que apresenta singularidade em x=1. Vamos usar conceitos de integrais impróprias e o critério de p-integral.

Passo 2

Identificamos a singularidade em x=1. Para estudar o comportamento perto desse ponto, fazemos a mudança de variável
t = 1 - x,
de modo que dx = -dt. Quando x vai de 0 a 1, t vai de 1 a 0, e a integral fica (invertendo limites para eliminar o sinal negativo)
integral0^1 1(x-1)^2/3,dx = integral1^0 -1(-t)^2/3,dt = integral0^1 t^-2/3,dt

Passo 3

Agora aplicamos o critério de p-integral para
integral0^1 t^-2/3,dt
Como o expoente p=2/3 satisfaz p<1, essa integral converge.

Passo 4

Para obter o valor, calculamos explicitamente
integral0^1 t^-2/3,dt = [ t^1/31/3 ]0^1 = 3l(1^1/3 - 0^1/3r) = 3

Passo 5

Portanto a integral original é convergente e vale 3.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 3.

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