Determine se cada integral é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria
O conteúdo aqui é análise de convergência de integrais impróprias e, se ela convergir, podemos até calcular seu valor. Vamos precisar usar o teste de p-integral perto do ponto singular e depois calcular a primitiva.
Passo 2
Primeiro identificamos a singularidade em
, pois
ali. Para ver se a integral converge, aproximamos o integrando quando
. Note que
logo
Como
converge (é um
-integral com
), nossa integral impropria também converge.
Passo 3
Agora, para calcular o valor, achamos uma primitiva. Faça a substituição
, então
ou
. A integral torna-se
Passo 4
Finalmente, avaliamos como limite impróprio:
Quando
,
. Então o resultado é
Passo 5
Portanto, a integral é convergente e seu valor é
.
Resposta
A integral é convergente e vale
.