Determine se cada integral é convergente ou divergente.
integral-3^1 xraiz9-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
integral-3^1 xraiz9-x^2,dx
O conteúdo aqui é análise de convergência de integrais impróprias e, se ela convergir, podemos até calcular seu valor. Vamos precisar usar o teste de p-integral perto do ponto singular e depois calcular a primitiva.

Passo 2

Primeiro identificamos a singularidade em x=-3, pois raiz9-x^2=0 ali. Para ver se a integral converge, aproximamos o integrando quando xto(-3)^+. Note que
9-x^2=(3+x)(3-x)approx 6(x+3) quando xto -3^+,
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xraiz9-x^2sim -3raiz6(x+3)propto (x+3)^-1/2
Como integral0^de converge (é um p-integral com p=1/2<1), nossa integral impropria também converge.

Passo 3

Agora, para calcular o valor, achamos uma primitiva. Faça a substituição u=9-x^2, então du=-2x,dx ou x,dx=-tfrac12du. A integral torna-se
integral xraiz9-x^2,dx = integral -12u^-1/2du = -u^1/2+C = -raiz9-x^2+C

Passo 4

Finalmente, avaliamos como limite impróprio:
integral-3^1 xraiz9-x^2,dx = limato -3^+l[-raiz9-x^2r]x=a^x=1 = l(-raiz9-1r)-l(-raiz9-a^2r)
Quando ato-3^+, raiz9-a^2to0. Então o resultado é
-raiz8 - (0) = -2raiz2

Passo 5

Portanto, a integral é convergente e seu valor é -2raiz2.

Resposta

A integral é convergente e vale -2raiz2.

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