Determine se cada integral é convergente ou divergente.
integral0^4 1x^2+x-6 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral0^41x^2+x-6,dx
que é um caso de integral imprópria porque o denominador pode zerar no intervalo de integração.

Passo 2

Fatoramos o denominador para encontrar possíveis singularidades:
x^2+x-6 = (x-2)(x+3)
As raízes são x=2 e x=-3. Dessas, apenas x=2 está dentro do intervalo de integração [0,4], gerando um ponto de descontinuidade em x=2.

Passo 3

Como x=2 é singular, dividimos a integral em duas partes impróprias:
integral0^41(x-2)(x+3),dx =limato2^-integral0^a1(x-2)(x+3),dx +limbto2^+integralb^41(x-2)(x+3),dx
Para verificar a convergência, estudamos o comportamento perto de x=2. Como x+3 é contínuo e vale 5 em x=2, tem-se
1(x-2)(x+3)sim 15,1x-2 quando xto2

Passo 4

A integral de 1x-2 em torno de x=2 diverge, pois
integralc^2dxx-2=-infty e integral2^ddxx-2=+infty
Pelo teste-p (ou pelo comportamento logarítmico), o caso p=1 em
integral |x-2|^-pdx leva a divergência. Portanto cada parte não converge.

Resposta

A integral
integral0^41x^2+x-6,dx
é divergente.

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