Determine se cada integral é convergente ou divergente, e calcule a integral convergente.
integral0^infty x arctg(x)(1+x^2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral0^inftyx,arctg(x)(1+x^2)^2,dx
e, caso ela seja convergente, calculá-la. O conteúdo aqui envolve análise de comportamento em x=0 e xtoinfty e uso de mudança de variável para avaliar a integral.

Passo 2

Verificamos o comportamento da função
f(x)=x,arctg(x)(1+x^2)^2
em xto0 e xtoinfty:
  • Para xto0 temos arctg(x)sim x e (1+x^2)^2sim1, logo f(x)sim xcdot x = x^2, que é integrável em 0.
  • Para xtoinfty temos arctg(x)totfracpi2 e (1+x^2)^2sim x^4, então f(x)sim tfracpi/2x^3, que é integrável no infinito.
    Portanto a integral converge.

Passo 3

Para calcular a integral, fazemos a troca de variável
t = arctg(x)Longrightarrow x=tan t, dx=sec^2t,dt,
com limites x=0to t=0 e xtoinftyto ttotfracpi2. Substituindo:
integral0^inftyx,arctg(x)(1+x^2)^2,dx =integral0^pi2 tan t;tsec^4t,sec^2t,dt =integral0^pi2t,tan t,cos^2t,dt =integral0^pi2t,sin t,cos t,dt

Passo 4

Usamos a identidade sin tcos t=tfrac12sin(2t), obtendo
integral0^pi2t,sin t,cos t,dt =12integral0^pi2t,sin(2t),dt
Agora integramos por partes em integral0^pi2tsin(2t),dt, escolhendo
u=t, dv=sin(2t),dt Longrightarrow du=dt, v=-tfrac12cos(2t)
Logo,
integral0^pi2tsin(2t),dt =l[-tfract2cos(2t)r]0^pi2 +12integral0^pi2cos(2t),dt

Passo 5

Calculamos separadamente:
l[-tfract2cos(2t)r]0^pi2 =-pi/22cos(pi)+0 =pi4,
e
integral0^pi2cos(2t),dt =l[tfrac12sin(2t)r]0^pi2 =0
Portanto
integral0^pi2tsin(2t),dt =pi4,
e voltando ao fator tfrac12,
integral0^inftyx,arctg(x)(1+x^2)^2,dx =12cdotpi4 =pi8

Resposta

A integral converge e vale pi8.

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