Determine se cada integral é convergente ou divergente, e calcule a integral convergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
e, caso ela seja convergente, calculá-la. O conteúdo aqui envolve análise de comportamento em
e
e uso de mudança de variável para avaliar a integral.
Passo 2
Verificamos o comportamento da função
em
e
:
- Para
temos e , logo , que é integrável em . - Para
temos e , então , que é integrável no infinito.
Portanto a integral converge.
Passo 3
Para calcular a integral, fazemos a troca de variável
com limites
e
. Substituindo:
Passo 4
Usamos a identidade
, obtendo
Agora integramos por partes em
, escolhendo
Logo,
Passo 5
Calculamos separadamente:
e
Portanto
e voltando ao fator
,
Resposta
A integral converge e vale
.