Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da séries de poténcio abaixo:
sumn=1^+00 (-1)^n x^2 n+1(2 n+4)!

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (-1)^n x^2n+1(2n+4)!
Este é um problema de análise de séries de potências e vamos usar o teste da razão (d’Alembert) para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
an = (-1)^nx^2n+1(2n+4)!
Pelo teste da razão, calculamos
L = limntoinfty |an+1an|

Passo 3

Primeiro escrevemos
an+1 = (-1)^n+1x^2(n+1)+1(2(n+1)+4)! = (-1)^n+1x^2n+3(2n+6)!
Logo,
|an+1an| = |x|^2n+3(2n+6)!,(2n+4)!|x|^2n+1 = |x|^2(2n+5)(2n+6)

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty|x|^2(2n+5)(2n+6) = 0
Como L=0<1 para todo xinR, a série converge para qualquer valor real de x.

Passo 5

Do resultado do teste da razão, o raio de convergência é
R = infty
e o intervalo de convergência é
(-infty,infty)

Resposta

Raio de convergência: R=infty.
Intervalo de convergência: (-infty,infty).

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