Use a substituição u=tan (x2) para calcular as seguintes integrais. Lembre
sen(x)=2 tan (x2)1+tan ^2(x2) e cos (x)=1-tan ^2(x2)1+tan ^2(x2)
integral 2 tan (x)2+3 cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 2tan(x)2+3cos(x),dx
usando a substituição de Weierstrass
u=tan!l(tfracx2r)
O conteúdo aqui é transformar a integral de funções trigonométricas numa integral racional em u.

Passo 2

Com u=tan!l(x2r) temos as fórmulas
tan(x)=2u1-u^2, cos(x)=1-u^21+u^2, dx=2,du1+u^2

Passo 3

Substituindo na integral, o numerador fica
2tan(x)=2cdot2u1-u^2=4u1-u^2,
e o denominador
2+3cos(x) =2+3cdot1-u^21+u^2 =2(1+u^2)+3(1-u^2)1+u^2 =5-u^21+u^2
Além disso dx=2,du1+u^2. Logo a integral vira
integral 4u1-u^25-u^21+u^2cdot2,du1+u^2 =integral 4u1-u^2cdot1+u^25-u^2cdot21+u^2,du =integral 8u(1-u^2)(5-u^2),du

Passo 4

Para integrar
integral 8u(1-u^2)(5-u^2),du
fazemos a substituição auxiliar v=u^2, assim dv=2u,du e u,du=tfracdv2. A integral passa a ser
8integral u,du(1-u^2)(5-u^2) =8integral tfracdv2(1-v)(5-v) =4integral dv(1-v)(5-v)

Passo 5

Fazendo frações parciais em
1(1-v)(5-v) =A1-v+B5-v,
temos A+B=0 e 5A+B=1, daí A=tfrac14, B=-tfrac14. Então
4integral dv(1-v)(5-v) =4integrall(1/41-v-1/45-vr),dv =integrall(11-v-15-vr),dv
Integrando:
integral 11-v,dv=-ln|1-v|, integral 15-v,dv=-ln|5-v|
Logo o resultado em v é
-ln|1-v|+ln|5-v| =lnl|5-v1-vr|+C

Passo 6

Voltando a v=u^2 e depois a u=tan!l(tfracx2r), obtemos
lnl|5-u^21-u^2r|+C =lnl|5-tan^2!l(tfracx2r)1-tan^2!l(tfracx2r)r|+C

Resposta

boxedlnl|5-tan^2!l(tfracx2r)1-tan^2!l(tfracx2r)r|+C

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