Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da séries de poténcio abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para a série de potências
determinar o raio de convergência
e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para encontrar
e depois analisar os casos
.
Passo 2
Aplicando o teste da razão na forma
onde
an=(-1)^n2n+1 . Temos
e, quando
ntoinfty ,
2n+12n+3to1 . Logo
Passo 3
Pelo teste da razão, a série converge se
L<1 e diverge se
L>1 . Portanto o raio de convergência é
e no interior
lvert x-3rvert<1 temos convergência absoluta.
Passo 4
Agora testamos o ponto
x=4 , em que
x-3=1 . A série vira
Como
12n+1 é decrescente e tende a zero, o critério de Leibniz garante convergência condicional em
x=4 .
Passo 5
No ponto
x=2 , temos
x-3=-1 , então
e a série torna-se
Essa é uma série do tipo harmônico (p
=1 ) em apenas termos ímpares, que diverge.
Resposta
Raio de convergência:
R=1 .
Intervalo de convergência:(2,4] .
Intervalo de convergência: