Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da séries de poténcio abaixo:
sumn=1^+infty (-1)^n(x-3)^n2 n+1

Passo 1

O enunciado pede para a série de potências
sumn=1^+infty (-1)^n(x-3)^n2n+1
determinar o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para encontrar R e depois analisar os casos x=3pm R.

Passo 2

Aplicando o teste da razão na forma
L=limntoinfty|an+1(x-3)^n+1an(x-3)^n|
onde an=(-1)^n2n+1. Temos
|an+1(x-3)^n+1an(x-3)^n| =l|x-3r|cdot2n+12n+3
e, quando ntoinfty, 2n+12n+3to1. Logo
L=l|x-3r|

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se L<1 e diverge se L>1. Portanto o raio de convergência é
R=1
e no interior lvert x-3rvert<1 temos convergência absoluta.

Passo 4

Agora testamos o ponto x=4, em que x-3=1. A série vira
sumn=1^+infty (-1)^n,1^n2n+1 =sumn=1^+infty (-1)^n2n+1
Como 12n+1 é decrescente e tende a zero, o critério de Leibniz garante convergência condicional em x=4.

Passo 5

No ponto x=2, temos x-3=-1, então
(-1)^n(x-3)^n = (-1)^n(-1)^n = 1
e a série torna-se
sumn=1^+infty 12n+1
Essa é uma série do tipo harmônico (p =1) em apenas termos ímpares, que diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: (2,4].

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