Use a substituição u=tan (x2) para calcular as seguintes integrais. Lembre
sen(x)=2 tan (x2)1+tan ^2(x2) e cos (x)=1-tan ^2(x2)1+tan ^2(x2)
integral sen(x)cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sen(x)cos(x),dx
usando a substituição de Weierstrass
u = tan!l(tfracx2r)
Vamos precisar das fórmulas
sen(x) = 2u1+u^2, cos(x) = 1 - u^21+u^2, dx = 21+u^2,du

Passo 2

Substituindo nas expressões de seno e cosseno, temos
sen(x)cos(x) = 2u1+u^21 - u^21+u^2 = 2u1 - u^2
Como
dx = 21+u^2,du,
a integral vira
integral 2u1 - u^2,21+u^2,du = integral 4u(1 - u^2)(1+u^2),du

Passo 3

Para simplificar, faça a substituição auxiliar
w = u^2 Longrightarrow dw = 2u,du
Então
4u(1 - u^2)(1+u^2),du = 4u1 - w^2,du = 21 - w^2,dw,
pois u,du = tfrac12,dw.

Passo 4

Agora integramos
integral 21 - w^2,dw
Fazendo frações parciais,
21 - w^2 = 11 - w + 11 + w,
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integral 21 - w^2,dw = integral 11 - w,dw + integral 11 + w,dw = -lnl|1 - wr| + lnl|1 + wr| + C

Passo 5

Voltemos a u e depois a x:
-lnl|1 - u^2r| + lnl|1 + u^2r| + C = ln!l|1 + u^21 - u^2r| + C
Como
1 + u^2 = sec^2!l(tfracx2r), 1 - u^2 = cos(x)cos^2!l(tfracx2r),
temos
1 + u^21 - u^2 = sec^2(tfracx2)cos(x)/cos^2(tfracx2) = 1cos(x),
portanto a integral é
ln!l|sec(x)r| + C = -lnl|cos(x)r| + C

Resposta

integral sen(x)cos(x),dx = -lnl|cos(x)r| + C

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