Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral1^infty e^-1 / xx^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral1^inftye^-1/xx^2,dx
e, se for convergente, calcular o seu valor.
Conteúdo: teste de comparação para convergência de integrais em infty e método de substituição para cálculo.

Passo 2

Analisando o comportamento para xtoinfty:
e^-1/x=1-1x+Ol(1x^2r),
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e^-1/xx^2 =1x^2+Ol(1x^3r)
Como integral1^inftyx^-2,dx converge (série p com p=2>1), pela comparação a nossa integral também converge.

Passo 3

Para calcular o valor, fazemos a substituição
u=1x, du=-1x^2,dx,
de onde
1x^2,dx=-du
Quando x=1, u=1; quando xtoinfty, uto0.

Passo 4

A integral fica
integral1^inftye^-1/xx^2,dx =integralu=1^u=0e^-u,(-du) =integral0^1e^-u,du =l[-e^-ur]0^1 =1-e^-1

Resposta

A integral é convergente e vale
1 - e^-1

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