Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
O conteúdo que vamos usar é o de integrais impróprias de função periódica: se a função tem período
e integral nula em cada período, a soma parcial até múltiplos inteiros de
é zero, mas precisamos checar o comportamento do resto para ver se o limite existe.
Passo 2
Vamos calcular a integral em um período completo, digamos de
a
:
Fazemos a substituição
, então
.
Passo 3
Com
obtemos a antiderivada
Logo,
Passo 4
Para estudar a integral até um ponto genérico
, escrevemos
onde
. Como cada período dá zero, o primeiro termo some e resta
À medida que
,
oscila entre
e
, logo
oscila entre
e
, não tendo limite único.
Resposta
A integral diverge.