Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^infty sen theta e^cos theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral0^inftysintheta,e^costheta,dtheta
O conteúdo que vamos usar é o de integrais impróprias de função periódica: se a função tem período T e integral nula em cada período, a soma parcial até múltiplos inteiros de T é zero, mas precisamos checar o comportamento do resto para ver se o limite existe.

Passo 2

Vamos calcular a integral em um período completo, digamos de 0 a 2pi:
integral0^2pisintheta,e^costheta,dtheta
Fazemos a substituição u=costheta, então du=-sintheta,dtheta.

Passo 3

Com du=-sintheta,dtheta obtemos a antiderivada
integralsintheta,e^costheta,dtheta=-integral e^u,du=-e^u+C=-e^costheta+C
Logo,
integral0^2pisintheta,e^costheta,dtheta =l[-e^costhetar]0^2pi =-e^cos(2pi)-(-e^cos0) =-e^1+e^1=0

Passo 4

Para estudar a integral até um ponto genérico b, escrevemos
integral0^bsintheta,e^costheta,dtheta =integral0^2Npisintheta,e^costheta,dtheta +integral2Npi^bsintheta,e^costheta,dtheta,
onde 2Npi<= b<2(N+1)pi. Como cada período dá zero, o primeiro termo some e resta
integral0^bsintheta,e^costheta,dtheta =l[-e^costhetar]2Npi^b =-e^cos b+e^cos(2Npi) =-e^cos b+e
À medida que btoinfty, cos b oscila entre -1 e 1, logo -e^cos b+e oscila entre -e^-1+e e -e^1+e, não tendo limite único.

Resposta

A integral diverge.

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