(8.0 pontos) Utilize a mudança de variáveis u=y+x e v=y-x para calcular à integral
0.0 \iint_{R}\left(x^{2}-y^{2}\right) d A, em que R é a região delimitada pelas retas y=-x, y+x=1, y=x e y-x=2.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dA
onde R é a região limitada pelas retas y=-x,\;y+x=1,\;y=x e y-x=2. Também é dada a mudança de variáveis \;u=y+x\; e \;v=y-x\;.
Informações relevantes retiradas do enunciado:
A integral a calcular é \iint_{R}\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dA.
As retas que limitam R são y=-x,\;y+x=1,\;y=x,\;y-x=2.
A substituição sugerida é \;u=y+x\; e \;v=y-x\;.
Passo 2
Vou encontrar a transformação inversa (u,v)\mapsto(x,y)\) e o Jacobiano. Parto do sistema
\[\begin{cases} u=y+x,\\[4pt] v=y-x. \end{cases}
Somando as duas equações obtenho u+v=2y\], logo
\[y=\frac{u+v}{2}.\]
Subtraindo as duas equações (\(u-v=2x) obtenho
x=\frac{u-v}{2}.
Agora calculo o Jacobiano J=\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}. As derivadas parciais são
Expliquei antes que -\dfrac{1}{2}uv vem da transformação do integrando e do fator do Jacobiano, e os limites u\in[0,1], v\in[0,2] vêm do mapeamento das retas.