(8.0 pontos) Utilize a mudança de variáveis u=y+x e v=y-x para calcular à integral
0.0 \iint_{R}\left(x^{2}-y^{2}\right) d A, em que R é a região delimitada pelas retas y=-x, y+x=1, y=x e y-x=2.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dA
onde R é a região limitada pelas retas y=-x,\;y+x=1,\;y=x e y-x=2. Também é dada a mudança de variáveis \;u=y+x\; e \;v=y-x\;.
Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • A integral a calcular é \iint_{R}\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dA.
  • As retas que limitam R são y=-x,\;y+x=1,\;y=x,\;y-x=2.
  • A substituição sugerida é \;u=y+x\; e \;v=y-x\;.

Passo 2

Vou encontrar a transformação inversa (u,v)\mapsto(x,y)\) e o Jacobiano. Parto do sistema \[\begin{cases} u=y+x,\\[4pt] v=y-x. \end{cases}
Somando as duas equações obtenho u+v=2y\], logo \[y=\frac{u+v}{2}.\] Subtraindo as duas equações (\(u-v=2x) obtenho
x=\frac{u-v}{2}.
Agora calculo o Jacobiano J=\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}. As derivadas parciais são
x_u=\frac{1}{2},\quad x_v=-\frac{1}{2},\quad y_u=\frac{1}{2},\quad y_v=\frac{1}{2}.
O determinante é
J = \begin{vmatrix} x_u & x_v\\[4pt] y_u & y_v \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{vmatrix} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
Como estamos mudando de variáveis no plano, o elemento de área transforma-se como dA=|J|\,du\,dv=\dfrac{1}{2}\,du\,dv.]

Passo 3

Transformo a integranda \,x^{2}-y^{2}\, em função de u e v. Observando que
x+y=u,\qquad y-x=v,
temos
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=-(y-x)(x+y)=-(v)(u)=-u v.
Portanto, a função a integrar em termos de u,v é -uv, e com o Jacobiano o integrando fica -uv\cdot\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}uv.

Passo 4

Agora mapeio a região R pelas equações em u,v. Usando as retas dadas:
  • A reta y=-x u=y+x=0.
  • A reta y+x=1 u=1.
  • A reta y=x v=y-x=0.
  • A reta y-x=2 v=2.
Logo, no plano (u,v) a região R vira o retângulo
0\le u\le 1,\qquad 0\le v\le 2.

Passo 5

Com tudo mapeado, escrevo a integral na nova variável:
\iint_{R}\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dA = \int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{2}\left(-\frac{1}{2}uv\right)\,dv\,du.
Expliquei antes que -\dfrac{1}{2}uv vem da transformação do integrando e do fator do Jacobiano, e os limites u\in[0,1], v\in[0,2] vêm do mapeamento das retas.

Passo 6

Calculo a integral iterada passo a passo.
Integro primeiro em v:
\int_{v=0}^{2}\left(-\frac{1}{2}u v\right)\,dv = -\frac{1}{2}u\int_{0}^{2} v\,dv = -\frac{1}{2}u\left[\frac{v^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = -\frac{1}{2}u\cdot\frac{2^{2}}{2} = -\frac{1}{2}u\cdot 2 = -u.
Agora integro em u:
\int_{u=0}^{1} (-u)\,du = -\left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2}.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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