Fatore:
4 x^{2}-4 x-3

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio quadrático
4x^{2}-4x-3.
Informações dadas (que vamos usar mais adiante):
a=4,\qquad b=-4,\qquad c=-3.
Ou seja, queremos escrever 4x^{2}-4x-3 como produto de dois fatores lineares (por exemplo (\alpha x+\beta)(\gamma x+\delta)).

Passo 2

Vou usar a fórmula das raízes de uma equação quadrática para encontrar as raízes da expressão — isso é útil porque, conhecendo as raízes r_{1} e r_{2}, podemos escrever o polinômio como a(x-r_{1})(x-r_{2}).
A fórmula das raízes diz que, para a equação ax^{2}+bx+c=0, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui:
  • a é o coeficiente do termo x^{2};
  • b é o coeficiente de x;
  • c é o termo constante;
  • b^{2}-4ac é o discriminante; se for um quadrado perfeito, as raízes são racionais e a fatoração costuma ficar com coeficientes inteiros.

Passo 3

Calculemos o discriminante e as raízes usando a=4, b=-4, c=-3.
Primeiro o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot 4\cdot(-3).
Calcule passo a passo:
(-4)^{2}=16,
4\cdot 4\cdot(-3)=16\cdot(-3)=-48,
então
\Delta = 16 - (-48) = 16+48 = 64.
Como \Delta=64, temos \sqrt{\Delta}=8.
Agora as raízes pela fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-4)\pm 8}{2\cdot 4}=\frac{4\pm 8}{8}.
Portanto as duas raízes são
x_{1}=\frac{4+8}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2},
x_{2}=\frac{4-8}{8}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}.

Passo 4

Sabendo as raízes x_{1}=\frac{3}{2} e x_{2}=-\frac{1}{2}, podemos escrever o polinômio como
4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr),
pois o fator 4 é o coeficiente a original.
Queremos uma fatoração com coeficientes inteiros. Observe que se multiplicarmos cada parêntese por 2 temos:
2\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)=2x-3,
2\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr)=2x+1.
Multiplicar os dois parênteses por 2 cada um multiplica o produto por 4. Então
4\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr)=(2x-3)(2x+1).
Assim obtivemos uma fatoração com coeficientes inteiros.

Passo 5

Vamos verificar expandindo (2x-3)(2x+1) para confirmar que volta ao polinômio original:
(2x-3)(2x+1)=2x\cdot 2x + 2x\cdot 1 -3\cdot 2x -3\cdot 1.
Calculando termo a termo:
2x\cdot 2x = 4x^{2},
2x\cdot 1 = 2x,
-3\cdot 2x = -6x,
-3\cdot 1 = -3.
Somando os termos em x:
2x-6x=-4x.
Logo
(2x-3)(2x+1)=4x^{2}-4x-3,
que é exatamente o polinômio dado. Tudo conferiu.

Resposta

(2x-3)(2x+1)

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