Fatore:
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio quadrático
Informações dadas (que vamos usar mais adiante):
Ou seja, queremos escrever
como produto de dois fatores lineares (por exemplo
).
Passo 2
Vou usar a fórmula das raízes de uma equação quadrática para encontrar as raízes da expressão — isso é útil porque, conhecendo as raízes
e
, podemos escrever o polinômio como
.
A fórmula das raízes diz que, para a equação
, as raízes são
Aqui:
-
é o coeficiente do termo ; -
é o coeficiente de ; -
é o termo constante; -
é o discriminante; se for um quadrado perfeito, as raízes são racionais e a fatoração costuma ficar com coeficientes inteiros.
Passo 3
Calculemos o discriminante e as raízes usando
,
,
.
Primeiro o discriminante:
Calcule passo a passo:
então
Como
, temos
.
Agora as raízes pela fórmula:
Portanto as duas raízes são
Passo 4
Sabendo as raízes
e
, podemos escrever o polinômio como
pois o fator
é o coeficiente
original.
Queremos uma fatoração com coeficientes inteiros. Observe que se multiplicarmos cada parêntese por
temos:
Multiplicar os dois parênteses por
cada um multiplica o produto por
. Então
Assim obtivemos uma fatoração com coeficientes inteiros.
Passo 5
Vamos verificar expandindo
para confirmar que volta ao polinômio original:
Calculando termo a termo:
Somando os termos em
:
Logo
que é exatamente o polinômio dado. Tudo conferiu.